Basis zu Vektorraum bilden

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein C-Vektorraum, und \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in V \) eine Basis. Zeigen Sie, dass die Vektoren

\( x_{1}, i x_{1}, x_{2}, i x_{2}, \ldots, x_{n}, i x_{n} \in V \)

eine Basis für \( V \) aufgefaßt als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum bilden.

Ansatz/Problem:

Muss ich nur zeigen, dass die Vektoren zueinander linear unabhängig sind? Und wenn ja, wie?

Answer 1

sei v aus V dann gibt es z₁,..z_n aus C und v = z1*x1+...+zn*xn, da die Basis ein Erz.syst. ist.
Jedes z_k ist a_k + b_k*i . Das in z1*x1+...+zn*xn eingesetzt gibt
v = (a₁ + b₁*i)*x₁ + ..... +  (a_n + b_n*i)*xn  und wenn man die Klammern auflöst ist das eine
Darstellung von v mit reellen Koeffizienten durch die Vektoren z₁, i*z₁,..z_n.,i*z_n

Also bilden diese ein Erz. Syt. für V als IR-VR.

Außerdem sind sie lin. un., denn aus    a₁*z₁+b₁* i*z₁ +...  + an*z_n.+bn*i*z_n  = 0

folgt die entsprechende Darstellung mit komplexen Koeffizienten a_k + b_k*i und da die x_k über C

lin unabh. sind, sind alle  z_k = 0 und wegen z_k = a_k + b_k*i  also auch alle ak und alle bk gleich 0.
Also sind die Vektoren z₁, i*z₁,..z_n.,i*z_n  über IR lin. unabh.