Kurvendiskussion Rückwärts. Polynom 4. Grades mit Sattelpunkt S(2|f(2)) und Wendetangente.

Question

Ich verstehe nicht was die Bedingungen hier sein solen oder allgemein kann mir jemand mal die Aufgabe lösen . Ich habe ein Bild von der Aufgabe gemacht. Danke und Küsschen im voraus.:))

Comments

Der Graph ist nicht zu sehen.
Ohne Bild geht es nicht.

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Ja das Bild gehört nicht zu dieser Aufgabe es ist kein Bild vorhanden.

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Lina: Vgl. auch hier https://www.mathelounge.de/207311/kann-mir-bitte-jemand-diese-aufgabe-losen-komm-echt-net-drauf 

Duplikatsantwort landet in absehbarer Zeit auch hier. Du brauchst doch nicht 2 Rechnungen, warte einfach auf Antworten und übe in dieser Zeit die Kurvendiskussion vorwärts. Dann ist rückwärts auch einfacher.

Answer 1

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f ' ' (2) = 0   wegen Sattel

f ' ( 2) = 0    wegen Sattel

f ' ( 0 ) = 0   wegen Tiefp.

f ' ' ( 2/3) = 0  Wendep.

f ' ( 2 / 3 ) = 32/27    Steig. der Tang.

Comments

ok aber was bedeutet S(2/f(2))

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Das bedeutet, dass du vom Punkt S nur den x-Wert kennst , nämlich 2

und wenn du die Gleichung für f(x) hättest, könntest du

f(2) ausrechnen und das wäre dann der y-Wert.

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und können wir eigentlich x=2/3 nich einfach bei g(x) einsetzen um noch den y-wert zu bekommen

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ach ja und woher weißt du das der Tiefpunkt einen x-wert von 0 hat

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"ach ja und woher weißt du das der Tiefpunkt einen x-wert von 0 hat "

Lina: Welchen x-Wert hat denn die y-Achse?

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wenn er auf der y-Achse liegt, muss es doch so sein.

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Stimmt aber ich habe jetzt mal versucht mit diesen Bedingungen die du aufgestellt hast zu rechnen aber irgendwie kommt bei mir nicht das richtige Ergebnis raus meinst du du kannst mir das einmal vorrechnen ?

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f ' (x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f ' ' (x) = 12ax^2 + 6bx + 2c

Die 3. Gleichung gibt d=0 also brauchen wir das schon mal nicht:

f ' (x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx

1. Gl gibt  48a + 12b + 2c = 0

2. Gl        32a  + 12 b + 4c = 0

3. und 4. brauchst du nicht, da die 3. (s.o.) schon verwendet und

die 4. von 1 und 2 lin. abhängig ist. Also nur noch die letzte

32/27a + 4/3b + 4/3c = 32/27

Jetzt die drei roten in ein Gleichungssystem und auflösen gibt

a=1/4  b= -4/3   C=2  und (s.o.) d=0 und e ist beliebig.

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Ich habe alles verstanden außer das mit der vierten Gleichung wieso wir die nicht mehr verwenden müssen

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Mathef kannst mir das noch mal erklären ?

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Du kannst sie ruhig dazu nehmen.

Dann entsteht in der Stufenform des Gleichungssystems ein Reihe

mit lauter Nullen. Macht also nichts.

Answer 2

4.Grad  Sattelpunkt an der Stelle \(x=2\)

Tiefpunkt an der Stelle \(x=0\)

Wendetangente bei \(x= \frac{2}{3} \)  mit \(m= \frac{32}{27} \)

\(f(x)=a[(x-2)^3(x-N)]\)

Tiefpunkt an der Stelle \(x=0\):

\(f'(x)=a[3(x-2)^2(x-N)+(x-2)^3]\)

\(f'(0)=a[3(0-2)^2(0-N)+(0-2)^3]=a[-12N-8]=0\)

\(N=-\frac{2}{3}\):

\(f(x)=a[(x-2)^3(x+\frac{2}{3})]\)

\(f'(x)=a[3(x-2)^2(x+\frac{2}{3})+(x-2)^3]\)

Wendetangente:

\(f'(\frac{2}{3})=a\cdot [3(\frac{2}{3}-2)^2(\frac{2}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{2}{3}-2)^3]= \frac{32}{27}\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}(x-2)^3(x+\frac{2}{3})\)

Answer 3

Gegeben

4.Grad
Sattelpunkt x = 2
f ´( 0 ) = 0 ( und Tiefpunkt )
x ( Wendepunkt ) = 2/ 3
f ´ ( 2/3 ) = 32 / 27
f ´´ ( 2/3 ) = 0

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´ ( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x + 2 * c

Sattelpunkt
f ´ ( 2 ) =  4 * a * 2^3 + 3 * b * 2^2 + 2 * c * 2 + d = 0
f ´´ ( 2 ) = 12 * a * 2^2 + 6 * b * 2 + 2 * c  = 0
Tiefpunkt
f ´ ( 0 ) = 4 * a * 0^3 + 3 * b * 0^2 + 2 * c * 0 + d  = 0  => d = 0

d entfällt
f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + e
f ´ ( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x
f ´´ ( x ) = 12 * a * x^2 + 6 * b * x + 2 * c

Sattelpunkt
f ´ ( 2 ) =  4 * a * 2^3 + 3 * b * 2^2 + 2 * c * 2 = 0
f ´´ ( 2 ) = 12 * a * 2^2 + 6 * b * 2 + 2 * c  = 0
Wendepunkt
f ´´ ( 2 / 3 ) = 12 * a * ( 2 / 3 )^2 + 6 * b * ( 2 / 3 ) + 2 * c  = 0
f ´ ( 2/3 ) = 4 * a * (2/3)^3 + 3 * b * (2/3)^2 + 2 * c * (2/3) = 32 / 27

4 Unbekannte ( a,b,c,e ) und 4 Gleichungen. Das müßte lösbar sein.

ich will jetzt fernsehn schauen.

Ich hoffe es hilft dir weiter.
Bei Fragen wieder melden.

Comments

ok aber was bedeutet S(2/f(2))

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S ( 2  | f (2 ) sind die Koordinaten des Sattellpunkts.
f ( 2 ) bedeutet : Funktionswert an der Stelle x = 2.

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also zeigt f(2) einfach nochmal das x=2 ist vom Sattelpunkt ?

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f ( 2 ) hat eigentlich keinen Informationswert.

Jeder Punkt auf dem Graph hat die Koordinaten
( x | f ( x ) )

Ich bin gerade dabei die Funktion aufzustellen.
Ist irgendwo ein fester  Funktionswert einmal angegeben ?
z.B. ( 2  | 4 ) ?

Sonst warte noch etwas.

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f ( x ) = x^4 / 4 - x^3 * 4 / 3 + 2 * x^2 + e

wobei e derzeit noch keinen Wert hat.

Die beiden Graphen zeigen die Funktion
blau : e = 1
rot : e = 2

Bitte überprüfe einmal ob die Graphen alle Bedingungen erfüllen.

mfg Georg

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Am liebsten wäre es mir in der Aufgabenstellung wäre eine Fehler und es
hieße : S ( 2  | 2 ). Dann wäre die Funktion eindeutig.

Ist dir die Lösung bekannt ? Oder, falls die Aufgabe im Unterricht besprochen
wird kannst du die Lösung einmal mitteilen.

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georgborn: mathef hat hier https://www.mathelounge.de/207311/kann-mir-bitte-jemand-diese-aufgabe-losen-komm-echt-net-drauf 5 Gleichungen angegeben. Das sollte eigentlich genügen für 5 Unbekannte.

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@Lu
würde ich normalerweise auch sagen, aber

- eine Aussage ist redundant und entfällt
- und : es gibt keinen festen Funktionswert

e bleibt unstimmt.

Ich habe es gerade nochmals neu durchgerechnet ( matheprogramm )

mfg Georg

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Ist ja auch klar.

Da kein einziger Funktionswert vorgegeben ist, erhältst du eine Schar von Funktionen, die du

alle nach oben oder unten verschieben kannst, ohne dass die geforderten Eigenschaften

nicht mehr gelten.  Kurz: das e bleibt als Parameter drin.