Differentialgleichungssystem auflösen x'= Ax

Question

Ich habe folgende Aufgabe :
$$x'=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 8 & -3 & -1 \end{pmatrix}x$$

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Man könnte sie aber auf Jordan Normalform bringen und dann Lösungen bestimmen. Das möchte ich aber nicht machen.Desweiteren kommt man hier mit einem Ansatz weiter, bei dem man schließlich einen Koeffizientenvergleich benutzt.Das möchte ich auch nicht machen.

Wir hatten in den Übungsstunden einen Weg benutzt, den ich leider vergessen habe und meine Aufzeichnungen grade nicht verfügbar habe.

Answer 1

Hi,
ich denke man kann die Aufgabe lösen, in dem man folgendes berechnet
$$  y(x) = e^{At}y_0 $$
Dieses \( y(t) \) erfüllt die Dgl. mit einem beliebigen Anfangswert \( y_0 \)
\( e^{At} \) ist als Potenzreihe definiert.

Comments

Danke,aber dein Ansatz ist ja genau das was ich beschrieben habe mit der Jordan Normalform.Das möchte ich ja nicht machen

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Du kannst doch \( e^{At} \) auch berechnen ohne die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen. D.h. man hat damit ein Konzept ohne Jordansche Normalform bzw. Diagonalisierung gefunden. Die Exponentialdarstellung von \( e^{At} \) lautet \( e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{ (At)^n }{ n! } \)

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Wenn man das über die Reihendarstellung berechnen will, wird man das in der Regel nicht schaffen, es sei denn man hat z.B. eine nilpotente Matrix oder andere sehr spezielle Fälle.

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Na ja, man muss ja nicht unbedingt eine explizite Lösung haben wollen. In vielen Fällen in der Praxis reichen ja auch numerische Lösungen. Z.B. aus meiner Erfahrung bei der Berechnung von Flugbahn Trajektorien gelenkter und ungelenkter Flugkörper ist das eine gängige Methode.