f(a)≥f(x) für alle x>a. Zeigt, f'(a)≤0.

Question

Sei f eine differenzierbare Funktion. Es gelte, f(a)≥f(x) für alle x>a. Zeigt, f'(a)≤0.

Ich weiß leider nicht, wie man sowas zeigt. Sieht banal aus, aber ich kann das formal nicht lösen!

Danke schonmal sehr vorab für die Hilfe!!!!

Answer 1

Nach Definition der Ableitung ist f ' (a) ja der Grenzwert des Differenzenquotienten

für h gegen 0, also

(f(a+h) - f(a) )  / h

wegen f(x) < f(a) ist der Zähler negativ ( denn hier ist ja x=a+h eingesetzt )

und h ist positiv, also ist der gesamte Bruch negativ.

Dann muss der Grenzwert dieses Bruches für h gegen 0  auch

kleiner oder gleich 0 sein.