Volumen eines Drehkörpers. Flächenstück von y=1-cos(x) rotiert um die y-Achse

Question

Gesucht ist das Volumen das entsteht wenn das flächenstück um die y achse rotiert.

man betrachte das flächenstück zwischen den graphen der funktion und der x achse.

y = 1-cos(x)  [0,2pi]

Comments

Wir reden doch über diese Fläche

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ja genau, diese Fläche ist gemeint

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EDIT: So könnte es eventuell stimmen:

Das rotierende Flächenstück hat aus Symmetriegründen die Fläche 2π*2/2 = 2π.

Der Schwerpunkt liegt bei x= π. Sein Weg um die y-Achse misst 2π*π.

Nun könnte man meinen das Volumen der Rotationskörpers wäre 

2π*π * 2π.

Und es kommt gerade 2π*π*2π  raus.

ist das Zufall?

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Hallo Lu,

zunächst meinen Glückwunsch zu deinen Herleitungen.

Ich habe bloß überhaupt keinen blassen Schimmer was du
dort eigentlich machst.

Falls es nicht zuviel Mühe macht würde ich gern näheres erfahren.

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georgborn: Warum da ausgerechnet der Faktor 4 nötig sein soll, ist mir leider (wie erwähnt) nicht klar. 

Ich müsste da auch einfach normal integrieren, um das richtig auszurechnen.

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Das rotierende Flächenstück hat aus Symmetriegründen die Fläche 2π/2 = π

Aber es kommt gerade 2π*π*π * 4 raus.

Die Antwort an georgborn auf die Frage  Ich habe bloß überhaupt keinen blassen Schimmer was du dort eigentlich machst.   lautet : "Er macht zwei Fehler." 

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hj212: Danke für den Tipp. Jetzt geht's wenigstens auf.

Answer 1

für Rotation um y gilt:

$$ V=\pi\int_{a}^{b}x^2\vert f'(x)\vert dx $$

wir brauchen also erstmal die Ableitung von f(x):

f(x) = 1-cos(x) -> f'(x) = sin(x)

damit wird dann:

$$ V=\pi\int_{a}^{b}x^2\vert sin(x)\vert dx $$

da wir die absoluten sin() -Werte in Intervall [0,2π] brauchen, teilen wir das Integral am besten über die Intervalle [0,π] (hier ist der Sinus eh positiv) und [π,2π] (hier ist der Sinus negativ, und wir nehmen den Betrag) auf:

$$ V = \pi\Big( \int_{0}^{\pi}x^2 sin(x) dx+\Big \vert \int {\pi}^{2\pi}x^2 sin(x) dx \Big \vert \Big)$$

Jetzt die Stammfunktion zu x^2sin(x) (partiell integrieren) finden:

$$ \int_{}^{}x^2 sin(x) dx =(2-x^2)cos(x)+2xsin(x)+C$$

und einsetzen und ausrechen...

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist V=160,905

Comments

Ich erhalte  V = 124,025

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also 124 ist auf jeden fall richtig ... was hast du anders gemacht?

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dann postest Du vielleicht mal ein Foto Deiner Rechnung. Bin mir schon recht sicher. Auch Wolframalpha gibt für

$$ \int_{0}^{2\pi}x^2 \vert sin(x)\vert dx $$

den Wert 51,21.... aus. das dann mal pi sind 160,9....

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Warum ist 124 auf jeden Fall richtig? Also wie hast Du das verifiziert? Will ja nicht behaupten, dass ich richtig liege, aber ich bin mir auch wg. Wolframalpha nun schon recht sicher...

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muss man hier nicht irgendwie mit der umkehrfunktion arbeiten?

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ah ich sehe Deinen Fehler. Du sagst einfach

$$\int_{0}^{2\pi}x^2\vert sin(x)\vert dx = \Bigg \vert \int_{0}^{2\pi}x^2  sin(x) dx \Bigg \vert $$

das geht aber so nicht.

$$\int_{0}^{2\pi}x^2\vert sin(x)\vert dx$$ hat ausschließlich positive Flächenanteile

$$ \Bigg \vert \int_{0}^{2\pi}x^2 sin(x) dx \Bigg \vert $$

jedoch hat sowohl positive als auch negative Flächenanteile die sich im gesamten Integral dann gegenseitig verrechnen.

124,025 ist auf jeden Fall falsch!

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Umkehrfunktion geht auch, wenn diese dann über dem zu integrierenden intervall auch definiert ist. Dann lässt man die Umkehrfunktion um x rotieren.

y= 1-cos(x) -> x=arccos(1-y) (wäre hier die Unkehrfunktion)

hier bekommen wir aber ein Problem, weil wir das Intervall nicht auf die Umkehrfunktion übertragen können. Das wird klar, wenn Du Dir mal den Graph von 1-cos(x) im Intervall [0,2pi] anschaust und dir dessen Spiegelung an der Winkelhalbierenden Ursprungsgeraden (genau das sagt ja der Begriff Umkehrfunktion) vorstellst. Da stellt man fest, das dabei keine eindeutige Zuordnung x->f(x) mehr möglich ist, d.h. die Spiegelung von 1-cos(x) im Intervall [0,2pi] ist gar keine Funktion mehr...

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@Schiffbauer
Du mußt in 2 Funktionen aufteilen.
siehe meine Antwort.

Answer 2

Ich habe es mit der Umkehrfunktion probiert

f = arccos( 1-x );
g = 2 * π - arccos(1-x)



Die beiden Rotationskörper haben das Volumen
Vg = ∫ g^2 * π  dx  zwischen 0 und 2
Vf = ∫ f^2 * π  dx  zwischen 0 und 2
Wolframalpha berechnet
142.47 - 18.44 = 124.03


mfg Georg

Comments

okay, nachvollzogen, verstanden und für gut befunden ;). Aber wo liegt denn dann bei meiner Antwort der Fehler?

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und wieso jetzt nicht zwischen den grenzen 0 und 2pi ? warum ohne pi?

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@hh313

Funktion
D = [ 0..2*π ]
W = [ 0..2 ]

Umkehrfunktion
( siehe de Graphen )
W = [ 0..2*π ]
D = [ 0..2 ]

Die Umkehrfunktion geht von 0 bis 2

@  Schiffsbauer
auf deinen Wert von 160 komme ich wenn ich beide
Volumina addiere. Liegt hier irgendwo der Fehler ?

Desweiteren war es mir nicht möglich die Stammfunktion
der Umkehrfunktion selbst aufzustellen.
Mein eigenes Matheprogramm auch nicht.
Deshalb habe ich Wolfram dies übernehmen lassen.

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was heißt D und W ... Definitions und Wertebereich?

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und vorallem wie bekomme ich das integriert ohne wolfram ((arccos(x-1)))^2 ? :D

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was heißt D und W ... Definitions und Wertebereich?

Genau

und vorallem wie bekomme ich das integriert ohne wolfram ((arccos(x-1)))² ? :D

Da müssen die Champions ran.

Oder stell einmal als neue Frage ein

Stammfunktion gesucht
π * ∫ [ arccos ( x - 1 ) ]^2  dx
wie geht das ?

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Sowas sind klausur aufgsben die man innerhalb weniger Minuten lösen muss

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Für eine Abiturklausur ist dies zu schwer.
Dies ist doch sicher eine Aufgabe aus dem Studium.

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ja genau damit quälen die uns im studium ^^ bin froh wenn ich mathe endlich mal hinter mir habe :)

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f = arccos( 1-x ); 
g = 2 * π - arccos(1-x) 

also ganz ehrlich ich versteh das eine hier noch nicht so ganz ...also f ist die umkehrfunktion das ist klar aber wie kommt man bei g darauf 2*pi- zu nehmen?

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Hier die Skizze


f = arccos( 1-x );   ist die untere rote Funktion
Die gestrichelte Line ist eine Parallele zur x-Achse im
Abstand 2 * π

Die obere blaue Funktion ergibt sich aus
2 * π - y

oder
g = 2 * π - arccos(1-x) 

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ich habe immer nach nicht rausbekommen wie man das integriert ... mir wurde gesagt mit zweifache partielle integration und z= (1-x)

arccos =u

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Leider ist es mir nicht möglich die Stammfunktion zu bilden.

Wolfram alpha findet

 \( \int \cos ^{-1}(1-x)^{2} d x= \)
\( -2 x+(x-1) \cos ^{-1}(1-x)^{2}+2 \sqrt{-(x-2) x} \cos ^{-1}(1-x) \)

Es gibt für dich 2 Möglichkeiten

- eine neue Frage einstellen

Stammfunktion gesucht
 ∫ [ arccos ( x - 1 ) ]² dx
wie geht das ?

oder

- dich an den Antwortgeber Lu zu wenden. Lu hat
eine wesentlich einfachere Lösung gefunden.

mfg Georg