Entwicklungssatz Laplace Beispiel Unklarheiten

Question

Ich hätte da 2-3 Fragen zu dem oben gelösten Beispiel. Und zwar in der ersten Determinante sind ja a21-a54 (0,0,0,3,0) aber welche Zahlen sind c21-c53? Da blicke ich irgendwie nicht ganz durch, denn sie haben da die gleiche nummerierung aber es sind doch andere Zahlen?

Und was ich noch nicht ganz verstehe sind die Potenzen beim (-1) vor der Determinante. Woher kommen diese? Ich dachte anfangs das sind Spalten/Zeilen der Determinante die danach steht was für c44 auch stimmt, aber unten steht dann 2*(-1)^{2+2} und (-3)*(-1)^{2+4} obwohl die matrix dahinter eine andere Spalten/Zeilen Anzahl hat.

Answer 1

Hi,
der Entwicklungssatz besagt ja, wenn Du nach einer Spalte der Matrix entwickelst, dass Du Spaltenelemente, z.B. \( a_{14} \) mit der verbleibenden Determinate multiplizieren musst, die entsteht, wenn man aus der ursprünglichen Matrix die 1-Zeile und die 4-Spalte streicht, multipliziert mit \( (-1)^{1+4}  \) und das für jedes Spaltenelement und zum Schluss alles aufsummierst. Allgemein, Du entwicklest nach der j-ten Spalte, dann muss man \( a_{ij} \) mit der Determinate multiplizieren die durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht, multipliziert mit \( (-1)^{i+j} \) und das für jedes Spaltenelement und alles aufsummieren. Siehe auch hier

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node49.html

Deshalb sind die Werte, z.B. \( C_{14} \) die entsprechenden Determinaten die durch Streichungen entstehen, die sogenannte Streichungsmatrix.
Den Faktor \( (-1)^{i+j} \) habe ich ja oben schon erklärt und geht auch aus dem Link hervor. Beim entwickeln nach der 4-Spalte sollte übrigens auch ein \( (-1)^{4+4} = 1 \) stehen.

Comments

Super hat Prima geklappt als ichs durchgerechnet habe, danke. Eine Frage hätte ich da noch. Beim Bsp wars ja anfangs immer gegen welche Zeile/Spalte man nehmen muss, aber im Prinzip kann ichs mir aussuchen und es kommt immer das gleiche heraus oder? Natürlich nimmt halt die in der am meisten Nullen sind.

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ja das ist korrekt so.                          

Answer 2

Die Potenzen von der -1 sind für das Vorzeichen der einzelnen Summanden.
Das ist immer abwechseln + und - .
Du entwickelst ja nach der 4. Spalte.Da müsste vor dem a1,4 ein "minus" und vor dem a2,4 ( Das ist bei dir korrekt) ein + stehen usw. immer abwechseln.
Ach so, ich sehe gerade, dass diese Vorzeichen immer mit in das c genommen werden, da brauchst du dir
nur zu merken:  Wenn beide Indizes vom c zusammen eine gerade Zahl geben ist es + und sonst - .
Ist also immer die Summe der Indices , nicht die Gesamtzahl der Zeilen und Spalten der Matrix.
Das Beispiel ist ein bißchen blöd, weil hier immer nur + raus kommt.
Die c's sind außer dem Faktor mit der -1 die Unterdeterminanten, also die entstehen, wenn eine Zeile und Spalte der ursprünglichen Det. gestrichen werden.