Beweise das Kommutativgesetz für n-Summanden

Question

Sei (\(i_1, ..., i_n) \) eine Permutation von \((1,..,n)\). Dann gilt

\(x_1 + ... + x_n = x_{i_1} + ... + x_{i_n} \).

Es ist offensichtlich, aber wie beweise ich es formaler? Mein Ansatz:

VI nach \(n\):

IA: \( x_1 + x_2 = x_2 + x_1 \)

IS n->n+1:

\( x_1 + ... + x_n + x_{n+1} = (IV) x_{i_1} + ... + x_{i_n} + x_{n+1} \). Damit habe ich gezeigt, dass ich die ersten \(n\) Summanden beliebig umordnen kann. Ich habe, aber noch nicht gezeigt, dass \( x_{n+1} \) an einer beliebigen Stelle sein kann (es ist immer noch an der letzten). Wie zeige ich das? Natürlich kann ich sagen "das sieht man" oder "durch wiederholte Anwendung des Kommutativgesetztes", aber das ist für mich immer noch kein Beweis.

Comments

Nach dem Grund für die Notwendigkeit der Erarbeitung eines solchen Beweises stelle ich jetzt mal nicht. Grundsätzlich hast du recht, es ist mehr als offensichtlich. Der "formale" Beweis so wie du ihn haben möchtest ist aber nicht unbedingt trivial. Kann im Gegenteil sogar länger werden als erwartet. Die Induktion von dir ist eigentlich nur der Beginn, dir fehlen noch wesentliche Ideen für eine "formale" Herangehensweise. Hier ein Link FYI:  http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=118299&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

---

Du hast über die Notwendigkeit gesprochen. Man könnte ähnliche Fragen bei sehr vielen Beweisen im Bachelor-Studium stellen. Warum sind gewisse Formalismen notwendig oder gerechtfertigt oder ab welchem Zeitpunkt? Das ist, denke ich, ein völlig anderes Thema.

Zurück zu meiner Frage. Die Assoziativität der Multiplikation sowie der Addition für n-Summanden habe ich schon bewiesen, deshalb darf ich sie ruhig benutzen, was ich auch gemacht habe (keine Klammern).

Ich müsste die ersten \( n \)-Elemente irgendwie nach hinten "ziehen" und jedes Mal erneut meine IV anwenden. Dein Link hat mir nicht wirklich geholfen, deshalb ist meine Frage immer noch offen.

Mein zweiter Versuch:

\(z = x_{n+1}, a = x_1\)

Zur Zeit habe ich gezeigt "beliebiege Anordnung der n-Summanden + z". Um den Beweis abzuschließen benötige ich noch folgende weitere Fälle

I: "a + beliebiege Anordnung der n-Summanden"

II: "z + beliebiege Anordnung der n-Summanden"

III: "beliebiege Anordnung der n-Summanden + a"

IV: "beliebiege Anordnung der n-Summanden die a und z enthält + y", wobei y ein x ungleich a und ungleich z.

Damit habe ich alle Fälle abgedeckt oder?

Beweis I:

\( x_1 + x_2 + ... + x_{n+1}\), hier wende ich IV auf n-Summanden \( x_2 + ... +x_{n+1} \) an und bekomme "a + beliebiege Anordnung der n-Summanden".

Beweis II:

\( x_1 + ... + x_n + x_{n+1} \) und setze \( p := x_1 + ...+x_n \) ein und mit dem Kommutativgesetz \( p + x_{n+1} = x_{n+1} + p \) und IV auf \( p \). Damit habe ich "z + beliebiege Anordnung der n-Summanden".

Beweis III:

analog wie II, \(x_1\) nach rechts verschieben und IV auf \( p \).

Beweis IV:

\( q := x_1 + x_{n-1}\), damit ist \( (q + x_n) + x_{n+1} \). Mit Assoziativiät und Kommunitativgesetzt bekomme ich \(q + x_{n+1} + x_n \), damit sind \(a\) und \(z\) nicht an der letzten Stelle und ich kann IV auf \(q + x_{n+1}\) anwenden.

Answer 1

Schau doch mal dort:

http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=118299&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D5%26ved%3D0CDsQFjAE