Tangentenverfahren nach Newton: u^3 = 1.5u + 1 und tan x = x+2

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Lösung der gegebenen Gleichung näherungsweise mit dem Tangentenverfahren nach Newton und einer Genauigkeit von vier Dezimalstellen hinter dem Komma.

Bestimmen Sie den benötigten Startwert mittels einer geeigneten Skizze.

i) \( u^{3}=1,5 u+1, \quad u \in \mathbb{R} \)

ii) \( \tan x=x+2, \quad x \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) \)

Hinweis: Es kann vorausgesetzt werden, dass das Verfahren in beiden Fällen konvergiert.

Answer 1

Man sucht Nullstellen von

y = u^3 - 1.5·u - 1

y' = 3·u^2 - 1.5

u_n+1 = un - y/y' = u_n - (un^3 - 1.5·u_n - 1)/(3·u_n^2 - 1.5)

Startwert würde ich etwas zwischen 1 und 2 also 1.5 nehmen.

u0 = 1.5

u1 = 1.5 - (1.5^3 - 1.5·1.5 - 1)/(3·1.5^2 - 1.5) = 1.476190476

u2 = 1.476190476 - (1.476190476^3 - 1.5·1.476190476 - 1)/(3·1.476190476^2 - 1.5) = 1.475686741

u3 = 1.475686741 - (1.475686741^3 - 1.5·1.475686741 - 1)/(3·1.475686741^2 - 1.5) = 1.475686517

Für die nächste Aufgabe finde Nullstellen von

y = TAN(x) - x - 2

Beginne mit einem Wert zwischen 7 und 8 also bei 7.5.

Comments

Vielen Dank .aber wie kommst du an den Startwert.?

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Mathecoach: Meinst du bei (II) nicht eher: Startwert 0.75 ? 7.5 liegt nicht im Definitionsbereich.

ib170. Skizziere y= tanx und y=x+2 und schaue, wo die beiden sich ungefähr schneiden. Du brauchst davon die sog. Stelle, also den x-Wert.

Ich würde das bei 2 von Hand so skizzieren und erkenne, dass sich rot und grün etwas weiter rechts kreuzen. Also bei x zwischen 1 und 1.5. Startwert 1 oder 1.5 oder etwas dazwischen wählen, wie Mathecoach das unten vorschlägt.

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Musste ein Startwert von 1 oder 1.5 sein. 7.5 ist natürlich verkehrt.

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Ok danke ... Kann man den Startzeit denn auch rechnerisch ermitteln ... Weis leider immer noch nicht genau wieso bei der ersten 1,5?

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Skizziere

y = x^3

und y = 1.5x + 1 und lies die Schnittstelle ungefähr ab.

Das Newtonverfahren ist genau für die Fälle nützlich, in denen man rechnerisch nichts machen kann.

Also einfach geschickt raten; in einem Computerprogramm halt systematisches Raten progammieren.

Answer 2

Bestimmen sie den Startwert mittels einer geeigneten Skizze