Zunächst die Induktionsbehauptung, für n=1:
Dann bleibt von der Summe nur das erste Element übrig, nämlich die 1.
Auf der rechten Seite rechnet man 1*(4*1^2-1)/3 = 3/3 = 1, also stimmt der Induktionsanfang.
InduktionsVoraussetzung: Die Aussage gelte für irgendein n, also
$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \frac { n \left( 4 n ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } $$
Zu zeigen ist dann, dass die Aufgabe für n+1 erfüllt ist, dass also
$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \frac { ( n + 1 ) \left( 4 ( n + 1 ) ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } $$
gilt.
Induktionsschritt:
Gehe aus von der Summe:
$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 ( n + 1 ) - 1 ) ^ { 2 } $$
| setze für Summe Induktionsvoraussetzung ein
$$ = \frac { n \left( 4 n ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } + ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } = \frac { 4 n ^ { 3 } - n + 12 n ^ { 2 } + 12 n + 3 } { 3 } $$
Betrachten wir nun nur den Zähler:
4n^3 + 12n^2 + 11n + 3
Durch Einsetzen stellt man fest, dass n=-1 eine Nullstelle des Terms ist, sodass der Linearfaktor (n+1) herausgezogen werden kann. Dafür führen wir eine Polynomdivision durch:
(4n^3 + 12n^2 + 11n + 3)/(n + 1) = 4n^2 + 8n + 3
(4n^3 + 4n^2)
8n^2 + 11n
8n^2 + 8n
3n + 3
3n + 3
0
Damit folgt:
(4n^3 + 12n^2 + 11n + 3) = (n+1)(4n^2 + 8n + 3)
Im zweiten Faktor kann man noch eine quadratische Ergänzung machen:
4n^2 + 8n + 3 = 4n^2 + 8n + 4 - 1 = 4*(n^2+2n+1) - 1 = 4*(n+1)^2 - 1
Damit haben wir insgesamt erhalten:
$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } = \frac { ( n + 1 ) \left( 4 ( n + 1 ) ^ { 2 } - 1 \right) } { 3 } $$
Das ist aber genau das, was wir beweisen wollten.
