Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionsschar in Abhängigkeit vom Parameter t. Funktion f(x)= x²-t*x³ (t=/0)

Question

Gegeben ist die Funktionsschar

f(x) = x²-t*x³  (t=/0)  (durchgestrichene gleichzeichen,name vergessen:-P)

a)Geben sie das Globalverhalten von f(x) an. Begründen Sie!

b)Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionsschar in Abhängigkeit vom Parameter t

Verstehe leider überhaupt nichts mehr..

Habe diese Aufgaben aus einer älteren Prüfung und komme zu keinem Ergebnis, brauche diese aber zum lernen für weiteres.

 

Danke schön im Voraus :-)

Answer 1

Das globale Verhalten kannst du der Skizze entnehmen.

Gezeichnet ist f(x) für  t = 1, t = 2, t = 3 und t = -0.5

Du kannst hier einfach faktorisieren und die Nullstellen ablesen.

f(x) = x²-t*x³

= x²(1 - tx) = 0

Nullstellen

x1 = x2 = 0, x3 = 1/t

Answer 2

Nullstellensuche auf anderem Weg:

$f(x) = x^2-t*x^3$

$f´(x) = 2x-3t*x^2$

$2x-3t*x^2=0$ → $x*(2-3t*x)=0$

$x₁=0$  $f(0) = 0$

$x₂=\frac{2}{3t}$     $f(\frac{2}{3t}) =(\frac{2}{3t})^2-t*(\frac{2}{3t})^3=\frac{12}{27t^2}-\frac{8}{27t^2}=\frac{4}{27t^2}$ 

$\frac{4}{27t^2}≠0$

Somit ist $x₁=0$ die einzige Nullstelle

Comments

Somit ist $x₁=0$ die einzige Nullstelle

Wovon?

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Somit ist $x₁=0$ die einzige Nullstelle von $f(x) = x^2-t*x^3$.

Ich hatte falsch gedacht: An anderen Stellen sind einfache Nullstellen, diese sind aber keine Extremwerte wie bei meiner Suche.

Danke für die Nachfrage!