Schiefe Asymptote berechnen mit Parameter für f(x)=(x2+t-1)/(x+1)

Question

Meine Funktion lautet : 

$$f(x) = \frac{x^{2}+t-1 }{x+1}$$

Ich soll nun eine Kurvendiskussion durchführen und bin gleich bei der schiefen Asymptote steckengeblieben.
Man muss ja mit der Polynomdivision arbeiten. Ich weiß aber nun nicht weiter, weil im Zähler ein Parameter ist.

Answer 1

( x^2 + t - 1 ) : ( x + 1 ) =  x  - 1      +  t / (x+1)
x^2 + x
----------
         -x + t - 1
         -x      -1
        ------------
              t
Also ist die schiefe Asy.    y= x - 1

Comments

Ok, danke.

Mir ist eben aufgefallen das ich nur bei der Asymptote Hilfe bräuchte . ^^ 

Also meine erste Ableitung wäre 
f '(x) = -t / (x+1)²

Und somit hab ich keine Extremstellen gefunden.

Und meine zweiter Ableitung:
f ''(x) = (2xt + 2t ) / (x+1)⁴

Ist soweit alles richtig ?

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NICHT nur bei der Asymp. Hilfe bräuchte *

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Also meine erste Ableitung wäre 
f '(x) = -t / (x+1)²

Da ist was falsch, richtig wäre

Also meine erste Ableitung wäre 
f '(x) =   1    -t / (x+1)²

Dann gibt es

beim  0 setzen  x= -1  +/-  wurzel(1+t)

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Ok, hab den Fehler auch gerade entdeckt. 
Aber wie genau kommst du auf die Nullstelle ? 
Also meine Rechnung: 

0= (1-t) / (x+1)²      | * ( (x+1)²
0 =1-t    f.A.

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0=  1   -    ( t+1) / (x+1)²    Die 1 steht vor dem Bruch !

0 = 1*(x+1)² -( t + 1 )

t+1 = (x+1)²

+/-   wurzel(t+1) =  x + 1

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Oh, hab gerade gesehen, dass es

0=  1   -    ( t+2) / (x+1)²    heißt.

also   +/-   wurzel(t+2) =  x + 1

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also ich hab jetzt raus :

x = -1 ± √(t+1)

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Beachte meine Korrektur von f '  dann ist es
x = -1 ± √(t+2)

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woher kommt t +2 ?

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Ich hatte mich bei der Abl. vertan.

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https://s3.amazonaws.com/pushbullet-uploads/ujE4W4hYH0e-566WAOwtnUTo…
kannst du mir sagen wo mein fehler liegt ?

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Ich hatte die falsche Funktionsgl.

Deine Abl. ist richtig und bei der Polynomdivision

habe ich es gerade korrigiert.

Dann komme ich allerdings bei f ' (x) = 0 auf

-1   +/- wurzel(t)

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Ja, ok. Ich auch . Hatte da auch mal wieder ein Schusselfehler..

So, meine 2.  und 3. Abl. sieht so aus : 
https://s3.amazonaws.com/pushbullet-uploads/ujE4W4hYH0e-Ic207PIuaZ9i…

Aber ich habe starke Bedenken das beide richtig sind.. 
Und ich habe einen Wendepunkt bei x= -1 gefunden (wenn die Abl. richtig sein sollte) .

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Was ist wenn die 3. Abl 0 ist ?

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Bei deinem f ' ' hast du im Zähler am Schluss  2xt + 2t Da kannst

du 2t ausklammern und hast  2t * ( x+1) und das   x+1 kannst du einmal kürzen und hast dann

insgesamt  2t /  ( x+1)³   und das ist niemals 0

Bei x=-1   ist ja auch eine Definitionslücke, kann also kein SP sein.

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Ok, danke. Mit der neuen Fkt hab ich doch keine WP

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Also meine nächste Aufg wäre dann die Ortskurve der TP zu bestimmen. ^^

Wir haben ja bei Extrema x = -1 ± √t  herausgefunden. Woher weiß ich ob es ein HP oder TP ist um die Ortskurve zu berechnen?

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Muss ich dann den DB von t angeben ?

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Du kannst doch die 2. Abl. nehmen und x = -1 ± √t 

einsetzen. gibt f ' ' ( -1 + √t ) =  2t /   √t ³  ist jeden falls positiv, also Tiefpu. bei -1 + √t

und entsprechend Hochpu. bei der anderen Stelle.    Vermute mal  t ist mit t >0 eingeschränkt.

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https://s3.amazonaws.com/pushbullet-uploads/ujE4W4hYH0e-THbGJumJIAk8…

Kann man y noch zsm fassen ? Und ist es bis dahin richtig ?

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Ja, kann man, gibt im Zähler

x² + 2x + 1 + x² - 1   =  2x² + 2x = 2x ( x+1) und dann kürzen gibt

insgesamt   2x

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ok, dankeschön. HA ist endlich fertig :)