Aufgabe zu Linearkombination

Question

Entscheide ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe.

a) "Falls einer der Vektoren a⁽¹⁾, ... a⁽ⁿ⁾ im ℝ^m der Nullvektor ist, dann sind a⁽¹⁾, ... a⁽ⁿ⁾ linear abhängig"

b) " Seien a⁽¹⁾, a⁽²⁾, ... a⁽ⁿ⁾ Vektoren in ℝ². Falls n ≥ 3, dann lässt sich jeder Vektor b ∈ ℝ² als Linearkombination von a⁽¹⁾, ... a⁽ⁿ⁾ darstellen."

Ich habe a) und b) mit einigen Beispielzahlen gerechnet und bin darauf gekommen, dass a) nicht stimmen und b) stimmen sollte. Jedoch weiss ich nicht, wie ich das mathematisch korrekt begründen kann, sodass ich mir sicher bin, dass es für alle Fälle gilt.

Answer 1

es ist genau umgekehrt:

a) ist wahr, folgt aus der Definition!

b) falsch: Gegenbeispiel!

Gruß

Comments

Oke danke, dann habe ich die Aufgabe wohl falsch verstanden...

Könntest du den Weg deiner Lösungen genauer beschreiben oder jeweils einen Ansatz geben, der mich auf den richtigen Weg bringt? 

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Ihr habt doch bestimmt eine Linearkombination als Definition für lineare Unabhängigkeit gewählt. Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so kann man aus allen Vektoren den Nullvektor erzeugen in dem man die Koeffizienten der restlichen Vektoren auf 0 setzt und einen beliebigen Koeffizienten für den Nullvektor in der Linearkombination verwendet.

Für das Gegenbeispiel: Verwende einfach den Fall das alle Vektoren paarweise linear abhängig sind.

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vielen Dank,

a) habe ich nun verstanden,

b) stimmt das dass ich in diesem mit einer 2 x n Matrix arbeiten muss, wobei n ≥ 3 ist?

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Kannst du musst du aber nicht.

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Oke ich werde es morgens nochmal versuchen und eventuell nomals rückfragen, falls es nicht klappt, danke!

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Hi, ich muss doch nochmals fragen:

ich bringe es mit einer 2 x 3 Matrix nicht hin, ich habe so ja 3 Unbekannte und nur zwei Gleichungen, was bei mir jeweils unendlich viele Lösungen ergibt, und somit nicht nur die Lösung

ergibt. Kannst du mir sagen was ich falsch mache bzw. mit welchen Vektoren/welcher Matrix ich anfangen sollte dass ich auf einen grünen Zweig komme?

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Mach es dir nicht unnötig kompliziert nimm doch einfach beispiels die Vektoren  $$ a^1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ a^2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}  \\ a^3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} $$
spannen diese den ganzen \( \mathbb{R}^2 \) auf?

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Aha, jetzt habe ich die Vektoren blos in x-Richtung und nicht in y-Richtung, sodass sie kollinear sind und nicht den ganzen ℝ²  aufspannen.

Das heisst ich habe keine Basisvektoren, um den Vektoren b als Linearkombintion von a⁽¹⁾,...,a⁽ⁿ⁾ darstellen zu können?

Stimmt meine Überlegung und falls ja, kann ich das als Begründung nehmen oder lässt sich das mathematisch besser begründen?

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Ja es reicht wie gesagt EIN gegenbeispiel. Und das hast du ja jetzt