Bernoulli Verständnisproblem: Wahrscheinlichkeit bei einem Kauf von drei Eiern 0, 1, 2 oder 3 Löwen zu bekommen?

Question

.. Habe wieder ein Mathe - Verständnisproblem. Und will das unbedingt beheben :)

Die Formel von Bernoulli

Vorüberlegungen
Ein Süßwarenproduzent stellt Schokoladeneier mit einer Überraschung darin her. In jedem siebten Ei befindet sich eine besondere Figure, zur Zeit sind es ,,Lucky Lions" .

1.)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Kauf von drei Eiern, 0 , 1 ,2 oder 3 Löwen zu bekommen ? Schreibe zur Klärung dieser Frage zunächst die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an die Pfade im nebenstehenden Baumdiagramm.

Das sieht so aus:

Bei Fragen das soll eine Null sein ;) Sorry ich kenne nur Paint bei sowas aber das ist ******
1 : Treffer ( Löwe)
0: Niete

Meine Frage ist:
Es ist für mich logisch, dass die Wahrscheinlichekit für ein Löwe 1/7 ist...
Bei einer Niete ist es 6/7 , warum 6/7????

2)
Die Anzahl der Löwen soll durch die Zufallsvariable X beschrieben werden. Die Werte , die die Zufallsvariable annehmen kann, heißen r. Fülle die unten stehene Tabelle zum Baumdiagramm aus.

r              ........................................   0                        1                             2                           3

Wahrscheinlichkeit
eines Pfades                                 (6/7)³             (6/7)²  * 1/7         6/7 *(1/7)²              (1/7)³

Zahl der Pfade                                   1                           3                     2                         1

P (X=r)                                           0,6297                     0,3149             0,0525            0,0029

Habe bezüglcih der Tabelle alles Verstanden, außer wie kommt man auf die Lösungen von *Zahl der Pfade* und *P(X=r)*

3)
Berechne die Wahrscheinlichkeit .mit der man beim Kauf von vier Schokoladeneiern genau 2 Löwen bekommt.
Da habe ich selbst keine richtige Lösugn...
Mein Versuch

P=(n über k ) *p^k *(1-p)^n-k
P=(4 über 2)*(1/7)² *(1-1/7)^4-2
P=0,08996
???
Habe die Formel gewählt, weil die Zum Thema passt, wann benutze ich denn die Formel?
Freue mich schon auf eine Lösung :))))

Answer 1

Hallo Plya,

1)

Es ist für mich logisch, dass die Wahrscheinlichekit für ein Löwe 1/7 ist...
Bei einer Niete ist es 6/7 , warum 6/7????

Du hast ja 2 Möglichkeiten, entweder Du bekommst einen Löwen (in einem von 7 Fällen), oder Du bekommst keinen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Du einen Löwen oder keinen Löwen bekommst, ist 100%, also 1 (denn eine andere Möglichkeit gibt es ja nicht). Also ist die W. für eine Niete 1 - 1/7 = 7/7 - 1/7 = 6/7.

Die Wahrscheinlichkeiten, die an den beiden Abzweigungen eines Knotens abgehen, ergänzen sich immer zu 1.

2)

Bei Deinem oben gezeichneten Baumdiagramm (Kauf von 3 Eiern) gibt es 8 Pfade:

000

001

010

011

100

101

110

111

Jeder "0-Ast" wäre mit 6/7 beschriftet (W. für Niete), und jeder "1-Ast" mit 1/7 (W. für Löwe). So wäre die W., erst eine Niete zu ziehen, dann einen Löwen und schließlich nochmals eine Niete: 6/7 * 1/7 * 6/7

Wenn Du jetzt die W. berechnen willst, beim Kauf von 3 Eiern genau einen Löwen zu bekommen, schaust Du nach den Pfaden, die genau eine 1 enthalten, hier also 001, 010, und 100. 3 Pfade, jeweils mit der W.

6/7 * 1/7 * 6/7, ergeben eine Gesamtwahrscheinlichkeit von

P(X = 1) = 3 * 6/7 * 1/7 * 6/7

Die Anzahl der interessierenden Pfade wird durch den Binomialkoeffizienten angegeben, hier also 

(3 über 1) = 3! / (1! * 2!) = (3 * 2 * 1) / (1 * 2 * 1) = 3

3)

Nun wird auch die letzte Aufgabe einfach:

4 Eier, genau 2 Löwen

(4 über 2) * (1/7)² * (6/7)² ≈ 0,08996 = 8,996%

Sehe gerade, das hast Du ja selbst schon richtig berechnet - prima!

Wann benutzt man die Binomialverteilung?

Wenn sich die Wahrscheinlichkeiten nach einem "Zug" nicht verändern, zum Beispiel beim Würfeln, Roulette,

Kauf von Überraschungseiern, die in unendlich großer Zahl vorhanden sind :-D

Nicht aber zum Beispiel beim Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel ohne Zurücklegen, oder beim Ziehen von einer festen Anzahl von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen; denn in diesem Falle würden sich die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug ändern. 

Hoffe, das war halbwegs verständlich :-)

Besten Gruß

Comments

Vielen Vielen Vielen Vielen Viellllen Daannkkk

Habe es jetzt kappierttttt

Bin jzt wirklich froh:)

Mhh aber beim Würfeln benutze ich immer andere  Formeln

Wie n über k oder halt an den pfaden wird multipliziert..

Kannst du mir vielleicht wann man es genau benutzt....

Wir machen das gerade etwas schnell..muss mir zu dem Thema Ordnung verschaffe

---

Klasse Plya, das freut mich.

Beim Würfeln benutzt Du eigentlich die gleiche Formel.

Machen wir ein paar Beispiele:

W., bei 5 Würfen genau eine 6 zu würfeln.

P(X = 1) = (5 über 1) * (1/6)¹ * (5/6)⁴

Du siehst, die Exponenten ergänzen sich immer zur Gesamtanzahl der Versuche (hier 5 = 1 + 4); und im Binomialkoeffizienten steht oben die Anzahl der Versuche (5) und unten die Anzahl der Treffer (1).

W., bei 5 Würfen genau zwei mal die 6 zu würfeln. Ganz analog:

P(X = 2) = (5 über 2) * (1/6)² * (5/6)³

W. bei 5 Würfen genau zweimal eine gerade Zahl zu werfen (Achtung: Hier sind die Trefferwahrscheinlichkeit und die "Nietenwahrscheinlichkeit" jeweils 1/2)

P(X = 2) = (5 über 2) * (1/2)² * (1/2)³

W., bei 5 Würfen mindestens eine 6 zu werfen.

Man könnte jetzt rechnen:

P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Riesenaufwand, nicht wahr.

Da sich die Wahrscheinlichkeiten P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 5) zu 1 ergänzen (denn eines dieser Ergebnisse muss eintreten), können wir hier eleganter mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen:

P(X > 0) = 1 - P(X = 0)

P(X = 0) = (5 über 0) * (1/6)⁰ * (5/6)⁵ = 1 * 1 * (5/6)⁵ = (5/6)⁵

Also ist

P(X > 0) = 1 - (5/6)⁵

Immer daran denken:

Die W. an jeder Abzweigung ergänzen sich zu 1,

entlang eines jeden Pfades werden die W. miteinander multipliziert,

und die Einzelwahrscheinlichkeiten, die Du an den jeweiligen "Endstationen" hast, ergeben zusammen wieder 1.

Denn einen dieser Pfade muss man ja beschreiten.

Ich habe jetzt etwas saloppe Formulierungen gewählt, aber ich denke, dadurch wird vielleicht alles ein wenig klarer :-)

Rückfragen werden nach wie vor gerne beantwortet, ich kann aber kein Zeitfenster angeben :-D

---

Dankeschön für die Hilfe..... Prima, dass man auch über das Internet eine coole Erklärung bekommt.
Danke -  Daumen hoch

Habe aber so ganz kleine Fragen noch...

1.)

Man könnte jetzt rechnen:

P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Riesenaufwand, nicht wahr. 

Meinst Du damit, dass man die Bernoulli Formel benutzen soll und immer für x 1 einsetzen muss und dann später 2 und dann 3 usw.?

2.)
Sry Was meint meint man mit
Die W. an jeder Abzweigung ergänzen sich zu 1,

3.)
Bei der Tabelle muss ich diese Zeile lösen
P (X=r)                                           0,6297                     0,3149             0,0525            0,0029

habe die Lösungen - hoffe die stimmen ?
Aber wie kommt man darauf...
Soll das deine Erklärung sein?

6/7 * 1/7 * 6/7, ergeben eine Gesamtwahrscheinlichkeit von

P(X = 1) = 3 * 6/7 * 1/7 * 6/7

Die Anzahl der interessierenden Pfade wird durch den Binomialkoeffizienten angegeben, hier also 

(3 über 1) = 3! / (1! * 2!) = (3 * 2 * 1) / (1 * 2 * 1)

Die kommt bei mir leider nicht direkt an..



Sicherlich stellst Du dir die Farge, warum ich soll viel Frage  ^^
Viel es halt Perfekt verstehen..
Das wären meine aller Letzen Fragen zum Post..
Danke nochmal---
Hoffe du hast Zeit ;)

---

Hi Plya,

mal sehen, ob ich Dir helfen kann :-)

1)

Meinst Du damit, dass man die Bernoulli Formel benutzen soll und immer für x 1 einsetzen muss und dann später 2 und dann 3 usw.?

Nein, in diesem Beispiel ging es darum, die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer zu berechnen.

Man kann 0 Treffer haben, oder einen oder 2 oder 3 oder 4 oder 4. Mindestens 1 Treffer heißt "Nicht keinen Treffer", deshalb war es geschickter zu rechnen:

P(X > 0) = 1 - P(X = 0).

2)

Sry Was meint meint man mit
Die W. an jeder Abzweigung ergänzen sich zu 1,

Wenn Du an einem Knoten Deines Baumdiagramms bist (mit jeweils 2 Ästen), und der eine Ast hat eine Wahrscheinlichkeit von zum Beispiel 1/6, dann muss der andere Ast die Wahrscheinlichkeit 1 - 1/6 = 5/6 haben.

Und 1/6 + 5/6 = 6/6 = 1.

Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 = 100%, und dieses muss eintreten. In unserem Beispiel kommt entweder ein Treffer (1/6) oder eine Niete (5/6), etwas anderes geht nicht :-)

Würdest Du als anderes Beispiel den Münzwurf nehmen, hättest Du an jedem Knoten zwei Äste mit "Kopf" oder "Zahl" mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 1/2; 1/2 + 1/2 = 1.

Noch ein Beispiel: Jeder 10. Autofahrer ist nicht angeschnallt (eine von mir erfundene Zahl). Wenn also die Polizei einen Autofahrer kontrolliert (wir befinden uns dann an einer Abzweigung, einem Knoten), ist die Wahrscheinlichkeit, einen Nichtangeschnallten zu erwischen 1/10, und die Wahrscheinlichkeit, einen Angeschnallten anzutreffen 9/10. Und, Du ahnst es schon :-)

1/10 + 9/10 = 1.

3.)
Bei der Tabelle muss ich diese Zeile lösen
P (X=r)                                           0,6297                     0,3149             0,0525            0,0029

Auch hier ergänzen sich die Wahrscheinlichkeiten wieder zu 1, wie Du leicht überprüfen kannst.

Denn entweder man bekommt beim Kauf von 3 Eiern entweder 0 Löwen oder einen oder zwei oder drei; etwas anderes ist nicht möglich.

0 Löwen: 1. Ei 0, 2. Ei 0, 3. Ei 0, ich schreibe also 000:

Es gibt nur diesen einen Pfad, und an jeder Abzweigung, an jedem Knoten habe ich die Wahrscheinlichkeit 6/7, keinen Löwen zu erhalten.

P(X = 0) = (3 über 0) * (1/7)⁰ * (6/7)^3-0 = 1 * 1 * (6/7)³ ≈ 0,6297

1 Löwe: 

100 oder 010 oder 001:

Wir haben also drei Pfade, und wieder beträgt die W. an jedem Knoten 6/7, keinen Löwen zu erhalten, und 1/7 einen Löwen zu erhalten (remember: 6/7 + 1/7 = 7/7 = 1). 

P(X = 1) = (3 über 1) * (1/7)¹ * (6/7)^3-1 = 3 * 1/7 * (6/7)² ≈ 0,3149

2 Löwen: 

110 oder 101 oder 011:

Drei Pfade

P(X = 2) = (3 über 2) * (1/7)² * (6/7)^3-2 = 3 * (1/7)² * (6/7)¹ ≈ 0,0525

3 Löwen: 

111:

Ein Pfad

P(X = 3) = (3 über 3) * (1/7)³ * (6/7)^3-3 = 1 * (1/7)³ * (6/7)⁰ ≈ 0,0029

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte - insofern hoffe ich, dass meine Farbkleckserei das Ganze etwas deutlicher macht :-D