Analysis 1: übungsblatt hilfe

Question

Aufgabe 8:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden (Un-)Gleichungen, d. h. begründen Sie, für welche \( x \in \mathbb{R} \) die (Un-)Gleichungen erfüllt sind:

\( || x|-1|<|x-1|, \quad|| x|-1| \cdot|| x|+1|=\left|x^{2}-1\right| \)

Unter Umständen kann Ihnen dabei anfänglich jeweils eine Skizze helfen, als Beweis an der Tafel genügt diese jedoch nicht! Für zwei reelle Zahlen \( x \) und \( y \) definieren wir zudem

\( \max \{x, y\}:=\left\{\begin{array}{ll} x & \text { falls } x \geq y \\ y & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

Finden Sie eine Formel, die das Maximum \( \max \{x, y\} \) zweier Zahlen \( x, y \in \mathbb{R} \) durch \( x, y \), und \( |x-y| \) ausdrückt. Analog zum Maximum zweier Zahlen kann man auch das Minimum \( \min \{x, y\} \) zweier Zahlen definieren. Kann man dafür eine entsprechende Formel angeben?

Aufgabe 9:

Beweisen Sie die in der Vorlesung angegebene, dort jedoch nicht begründete Formel

\( \sum \limits_{i=0}^{n} q^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \)

für alle \( q \neq 1 \) und \( n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \).

Answer 1

Ansatz zur Aufgabe 8:

Du untersuchst verschiedene Fälle und kannst die Ungleichung bzw. die Gleichung dementsprechend anders schreiben.

1. Fall: $$x∈[1,∞[$$

$$x-1<x-1$$

2. Fall: $$x∈[0,1]$$

$$-(x-1)<-(x-1)$$

3. Fall: $$x∈[-1,0]$$

$$-(-x-1)<-(x-1)$$

4. Fall: $$x∈[-∞,-1]$$

$$-x-1<-(x-1)$$

Und die beiden Formeln für Maximum und Minimum findest du im Internet. Aber versuch besser erst mal selbst, falls du es noch nicht gemacht haben solltest, auf die Formeln zu kommen.

Aufgabe 9:

Vollständige Induktion:

\( \sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ { q }^{ i }=\sum _{ i=0 }^{ n }{ { q }^{ i }+{ q }^{ n+1 }=\frac { 1-{ q }^{ n+1 } }{ 1-q } +{ q }^{ n+1 }=\frac { 1-{ q }^{ n+1 }+(1-q){ \cdot q }^{ n+1 } }{ 1-q }  } =\frac { 1-{ q }^{ n+1 }+{ q }^{ n+1 }-{ q }^{ n+2 } }{ 1-q } =\frac { 1-{ q }^{ n+2 } }{ 1-q }  } \)

Bei Fragen kannst du dich melden.

Comments

Alternativer und meiner Meinung nach recht sehenswerter Beweis bei 9:

Sei \( n\in \mathbb{N_0} \) und \(q \neq 1\). Sei

$$  S_n := \sum_{i=0}^{n} q^i \tag{1} .$$

Multiplizieren mit \(q\) liefert

$$ qS_n = \sum_{i=0}^n q^{i+1}. \tag{2}$$

Durch Subtraktion beider Gleichungen erhält man

$$ (1-q)S_n = \sum_{i=0}^n q^i  - \sum_{j=0}^n q^j  = \sum_{i=0}^n q^i - q^{i+1} \underset{\text{Teleskopsumme}}{=}  1-q^{n+1} $$

und daraus folgt schließlich das gewünschte Ergebnis

$$ S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. $$

Answer 2

Aufgabe 8 die erste.

Ausführlich für x < 0
x * ( -1 ) > x
-x > x
2x < 0
x < 0  und stimmt mit der Eingangsvoraussetzung überein.

Comments

Georg, deine abschließenden Ausführungen sind eigentlich überflüssig, du kannst die Umformung schließen mit
\(|x|>x\quad \Leftrightarrow \quad x<0.\)