Aufgabe 8:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden (Un-)Gleichungen, d. h. begründen Sie, für welche \( x \in \mathbb{R} \) die (Un-)Gleichungen erfüllt sind:
\( || x|-1|<|x-1|, \quad|| x|-1| \cdot|| x|+1|=\left|x^{2}-1\right| \)
Unter Umständen kann Ihnen dabei anfänglich jeweils eine Skizze helfen, als Beweis an der Tafel genügt diese jedoch nicht! Für zwei reelle Zahlen \( x \) und \( y \) definieren wir zudem
\( \max \{x, y\}:=\left\{\begin{array}{ll} x & \text { falls } x \geq y \\ y & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Finden Sie eine Formel, die das Maximum \( \max \{x, y\} \) zweier Zahlen \( x, y \in \mathbb{R} \) durch \( x, y \), und \( |x-y| \) ausdrückt. Analog zum Maximum zweier Zahlen kann man auch das Minimum \( \min \{x, y\} \) zweier Zahlen definieren. Kann man dafür eine entsprechende Formel angeben?
Aufgabe 9:
Beweisen Sie die in der Vorlesung angegebene, dort jedoch nicht begründete Formel
\( \sum \limits_{i=0}^{n} q^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \)
für alle \( q \neq 1 \) und \( n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \).