Berechnen Sie die drei Lösungen der Gleichung x^{3}+9x=-26, indem Sie die Formel Cardanos anwenden

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die drei Lösungen der Gleichung \( x^{3}+9 x=-26 \), indem Sie die Formel Cardanos anwenden und dann die quadratische Gleichung bestimmen und lösen, denen die zweite und dritte Lösung genügen müssen.

Hinweis: Für den Gleichungstyp \( x^{2}+m x=n \) lautet Cardanos Formel

\( x=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}+\left(\frac{m}{3}\right)^{3}}}-\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^{2}+\left(\frac{m}{3}\right)^{3}}} \)

Answer 1

Das ist bei Wikipedia unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

recht gut erklärt. Lies es dir dort mal durch und wenn du dann noch Fragen hast melde dich einfach.

Answer 2

Der online Rechner unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet im Teil 1 alles mit den Cardanischen Formeln vor:

Interessant ist, dass es im Teil 2 bereits eine fertige PQRST-Formel für kubische Gleichungen gibt, die analog zur pq-Formel immer funktioniert (nur, wenn Ihr schon komplexe Zahlen hattet).

Neben Wikipedia gibt es auch im Bronstein (dickes Mathe Buch)

oder http://www.abi-mathe.de/buch/grundlagen/cardanische-formeln/

Comments

Mir bringt der Rechner ja nichts, wenn ich nicht weiß, wie genau ich vorgehen soll.
Deshalb habe ich gefragt, ob mir einer die einzelnen Schritte erklären kann.

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Setzte doch einfach  m = 9 und n = -26 in die Formel ein und rechne Schritt für Schritt das Ergebnis aus!

Mit dem Ergebnis erhältst du dann über die Partialdivision die quadratische Gleichung für die beiden fehlenden Ergebnisse.

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Ich glaube genau das ist das Problem: das Einsetzen der Parameter in die Formel:

x1 = (-26/2+sqrt((26/2)²+(9/3)^3))^{1/3} - (26/2+sqrt((26/2)²+(9/3)^3))^{1/3} 

= 1 - 3 = -2