Nullstellen bei Polynomfunktion: Wie werden sie gezählt?

Question

Hallo Mathefreunde,

hier eine vielleicht etwas müßige Frage, über die ich aber heute eine Diskussion mit einem Schüler hatte:

Wenn ich zum Beispiel eine Funktion mit den einfachen Nullstellen x₁ =1 und x₂ = -1 habe und der doppelten Nullstelle x₃ = 0:

Sage ich dann, ich habe 3 Nullstellen oder aber ich habe 4 Nullstellen (wg. der "doppelten Nullstelle")?

Meiner Meinung nach sind es nur 3 Nullstellen, von denen eine halt eine doppelt und dadurch irgendwie ausgezeichnet ist. 

Ansonsten müsste man ja bei f(x) = x⁴ sagen, ich habe 4 Nullstellen, also x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 0.

Ausgangspunkt unseres Disputs war übrigens die Frage aus seinem Mathebuch:

Wenn eine Funktion 2. Grades eine Nullstelle hat, dann hat sie auch eine zweite Nullstelle. Meiner Einschätzung nach hat z.B. f(x) = x² nur eine Nullstelle (x = 0), auch wenn sie eine doppelte ist - seiner Meinung nach sind es zwei Nullstellen. 

Danke Euch im Voraus

Lieben Gruß

Andreas

Answer 1

Oft sagt man, eine Funktion habe mit Vielfachheiten gezählt ... Nullstellen (z.B. im Fundamentalsatz der Algebra).

\(f(x)=x^2\) hat mit Vielfachheiten gezählt zwei Nullstellen (wie jedes quadratische Polynom über \(\mathbb{C}\)). Ohne diesen Zusatz würde ich aber eher sagen, die Funktion hat nur eine Nullstelle.

Für welche Klassenstufe ist denn das Mathebuch? Außer in der Oberstufe beschäftigt man sich meiner Meinung nach eher weniger bis gar nicht mit Vielfachheiten von Nullstellen

Comments

@ Nick:

"mit Vielfachheiten gezählt" ist wahrscheinlich das entscheidende Stichwort - danke Dir!

Klassenstufe ist übrigens Oberstufe Berufskolleg - also Fachabitur. 

LG

Andreas

Answer 2

dass ist eine gute Frage. Ich habe darüber noch nie wirklich nachgedacht.

"Wenn ich zum Beispiel eine Funktion mit den einfachen Nullstellen x₁ =1 und x₂ = -1 habe und der doppelten Nullstelle x₃ = 0"

Ich würde einfach sagen, dass die Funktion drei Nullstellen hat, wobei eine Nullstelle eine doppelte NST ist. Also man kann ja auch sagen: x_3,4 = 0

Aber genau weiß ich das nicht, da ich mich erst in der 8. Klasse befinde und mich hobbymäßig mit der Oberstufenmathematik beschäftige.

LG Jasmin

Comments

Vielen Dank Jasmin, Du siehst es also ähnlich wie ich. 

"... da ich mich erst in der 8. Klasse befinde und mich hobbymäßig mit der Oberstufenmathematik beschäftige."

Respekt!!

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@Andreas: Hatte dieses Problem letztes Jahr in einer Schulaufgabe:

Dort erhielt ich als Nullstellen: x=0 (Doppelte Nst.) x=√3 und x=-√5 (Einfache Nst.)

Ich sollte die Anzahl und Vielfachheit derer angeben. Bei Anzahl habe ich 4 genommen. Dies war falsch (nämlich nur 3), habe deswegen auch einen Punkt abgezogen bekommen.

Deswegen stelle ich jetzt mal die These auf, dass man doppelte, dreifache,... Nullstellen bei der Anzahl nur einfach gewichtet, jedoch ohne Gewähr!

LG

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@ Simon:

Vielen Dank Simon - auch das ist eine wertvolle Antwort, denn schließlich bist Du noch mitten im Geschehen und weißt, was "der Lehrkörper" von Dir erwartet :-)

Auch ich lerne immer noch dazu, und die Aufgaben, die teilweise im Berufskolleg gestellt werden, verblüffen mich immer wieder :-D

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Man lernt ja doch nie aus! ;)

Aber das ist doch irgendwie auch schön, wenn man immer etwas lernen kann.

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@ Simon:

Ein genialer Freund von mir, zu dem ich leider seit längerem keinen Kontakt mehr habe, sagte seinerzeit sinngemäß:

"Sinn des Lebens ist Lernen."

Ich denke, da ist etwas dran :-D

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Da ist in der Tat etwas dran. Schließlich ist doch der Großteil des Lebens vom Lernen geprägt.

Von der Schule bis hin zum Studium, im Berufsleben absolviert man Fortbildungen,...

Trotzdem muss man sagen, dass der Mensch dadurch eine gute Beschäftigung findet :P

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Ja, so ist es:

Lernen muss aber nicht nur mit Schule, Studium und Berufsleben zu tun haben;

bei jedem Umgang mit Deiner Umwelt lernst Du etwas:

Seien es Freunde, Partner - wer oder was auch immer

:-D

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Hey Brucybabe

Dein Spruch finde ich voll cool

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Ich stelle immer wieder fest, dass Mathematik wie Schach ist:
Ein See, in dem eine Mücke baden und ein Elefant ertrinken kann.

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@ Plya:

Danke Dir vielmals!

Habe ich allerdings nur auf einer Schachzitate-Seite gesehen und auf die Mathematik erweitert :-D

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hast du aber gut erweitert...

Ich hoffe ich darf das Zitat auch verwenden^^

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Aber selbstverständlich :-D

Answer 3

Hi,

also ich befinde mich gerade in der Oberstufe, 12. Klasse. Bei einer Funktion wie z. B f(x) = x^2 sagen wir, dass die Funktion 1 Nullstelle bei x = 0 besitzt.

Die Nullstellen werden bei uns als einzeln gewichtet. Obwohl es eigentlich eine doppelte Nullstelle wäre.

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Vielen Dank Karin,

eine weitere gute und wertvolle Antwort, die mir weiterhilft!