Extremwertaufgabe, Halbkugel wird ein Kegel herausgeschnitten

Question

Hi, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen!?

Vielen Dank

Aus einer Halbkugel mit dem Radius R= 6cm wird ein Kegel herausgeschnitten, dessen Spitze der Mittelpunkt der Grundfläche der Halbkugel ist. Berechnen Sie den Radius r und die Höhe h des Kegels mit maximalem Volumen.

Answer 1

Wie wäre es mit diesem Lösungsweg?

Zunächst brauchst du die Formel für das Kegelvolumen:

V = 1/3πr²h = f(r,h)

eine der Größen r oder h müssen ersetzt werden, das geht mit dem Pythagoras: die Kegelseite ist R, also ist r² = R² – h²

eingesetzt in die Volumenformel wird

V = 1/3π(R² – h²)h = f(h)

jetzt kannst du in üblicher Weise den Extremwert berechnen.

Comments

Darf ich kurz mal fragen für was das f  in der Kegelvolumengleichung steht?

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Mit f ist die Funktion gemeint. In dem Falle  nicht f(x) sondern f(r,h)

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Ich bin mir nicht sicher aber ist dann   
f(h)= R^2-h^3  ?

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so wie bei y = f(x) ist , ist bei dieser Funktion V = f(h)

du musst also V nach h differenzieren.

Wenn du damit Probleme hast, setze doch einfach für V y ein und für h x

wie kommt das R² - h³ zustande? die Ableitung ist R² - 3h²

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V= 1/3 * pi * (R² - h²) * h

= 1/3*(36 - h²) * h* pi

=(12- 1/3h²) *h * pi

= 37,7 h -1,047h³

Du hast wahrscheinlich R² – h² nicht in Klammern für r eingesetzt. Sonst einfach ausmultiplizieren.

Jetzt hast du die Zielfunktion, die du ableitest und dann = 0 setzt. Dann löst du nach h auf und bist fast fertig, da du nur noch r ausrechnen musst, indem du in R² – h² = r² einsetzt

Schreibe hier deine Lösung, ich werde sie gerne Kontrollieren 

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Irgendwie mach ich was falsch wenn ich nach h auflöse kommt bei mir h^3= 40,841 raus

Meine Ableitung ist V' = 37,7h- 3,141h^2

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f(x)=37,7 h -1,047h³

f'(x)= 37,7 -1,047*3h² =0

37,7= 3,141h² |:3,141 

12= h² | Wurzelziehen 

h=3,46 

Nun r berechnen

 r² = R² – h²= 36cm² - 12cm² = 24cm²

√24=r ≈4,9 cm

 

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Und jetzt ist man fertig oder?

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Nach r und h war gefragt, und das hast du ja gefunden. Allerdings fehlt der Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt. Also noch die 2. Ableitung bilden, sie muss negativ werden. 

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2. Ableitung ist doch V´´ = 37,7h - 1,047 * 6h oder?

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37,7 h muss auch abgeleitet werden, also  f''(x) = 37,7 - 1,047 * 6h

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Ist vieleicht jetzt eine blöde Frage von mir aber wen man bei 37,7 das h mit ableitet warum haben wir das dann in der 1. Ableitung nicht gemacht? Dann hätten wir doch nämlich bei der 2. Ableitung ein negatives Ergebnis.
Klär mich bitte auf

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Du hast recht, ich hab geschrieben:

 f(x)=37,7 h -1,047h³

f'(x)= 37,7 -1,047*3h² =0

Und bei der 2.Ableitung nochmal das nicht mehr vorhandene h abgeleitet. f''(x) = -1,047*6h 

Das setzt du gleich 0 

0= -1,047*6h =-1,047*6*3,46= -21,735 

Das Ergebnis ist kleiner als 0, daher ein Hochpunkt. Aufgabe stimmt ! 

Gruß Luis

Answer 2

x² + y² =r² 

Zielfkt .: V = 3,14  *x² y !!

Comments

Wenn du uns noch verrätst was mit x und y gemeint ist ?  Eher müsste es doch heißen R² - h² = r²