differenzierbarkeit stretigkeit

Question

Ist jemand Fit in Stetigkeit Differenzierbarkeit ? Ich weiß zwar wie man Stetigkeit erkennen kann aber mit  1/cos(x)

bin ich überfordert. Bitte um Hilfe danke im Voraus :)

f(x) =

|x−1|− 1/cos(x)
,
definiert? Wo ist f stetig? Wo ist f differenzierbar

Answer 1

Um den Definitionsbereich zu finden, musst du die Nullstellen von \( \cos(x) \) bestimmen und diese aus dem Definitionsbereich ausschließen, da man sonst im Term \( 1/\cos(x) \) durch Null teilen würde. Der erste Summand \( |x-1| \) macht hinsichtlich des Definitionsbereichs auch keine Probleme.

Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig, denn \( |x-1| \) und \( \frac{1}{\cos(x)} \) sind beide jeweils stetig auf ihrem Definitionsgebiet und somit ist \(f\) eine Komposition stetiger Funktionen.

Zur Differenzierbarkeit solltest du wissen, dass die Summe differenzierbarer Funktionen auch wieder differenzierbar ist. Es sollte bekannt sein, dass \( 1/\cos(x) \) auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und \( |x-1| \) nur an der Stelle \( x_0 = 1 \) nicht differenzierbar ist. Also musst du die Funktion \(f\) mittels der Definition von Differenzierbarkeit untersuchen und zwar an der Stelle \(x_0 = 1 \).

Comments

Ahhh ... danke  also gucke ich zum einen, dass ich nicht nur 0 teile um meinen Definitionsbereich zu bestimmen.

cos(x) =0, wenn pi (1/2 + n)

und dann schaue ich mir an welche x meinen ersten Ausdruck =0 machen und somit nicht differenzierbar?

Und da gibt, dass die Summe der differnenzierbaren Funktionen auch differenzierbar ist kann ich das allgemein schreiben.

Ich finde das ist echt eine echt fiese Klausuraufgabe aber vielen dank jetzt weiß ich Bescheid :)

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Nur weil der erste Ausdruck 0 wird, heißt es nicht automatisch, dass \(f\) dort nicht differenzierbar ist. Aber du solltest wissen, dass die Betragsfunktion \( |x-1| \) überall außer für \( x_0 = 1\) differenzierbar ist und somit \(f\) für alle \(x\neq 1\) differenzierbar sein muss, da \(f\) in dem Fall die Komposition differenzierbarer Funktionen ist. Die Nullstelle (bzw. Knickstelle) der Betragsfunktion ist lediglich ein Kandidat für eine Stelle, an der \(f\) möglicherweise nicht differenzierbar ist. Wenn du dir das nicht vorstellen kannst, dann plotte mal die Graphen der Funktionen \(f, |x-1|, 1/\cos(x) \).

Answer 2

f(x) = |x−1|− 1/cos(x)   ist außer bei den Nullstellen von cos , also bei pi/2 + n*pi mit n aus Z

überall definiert und differenzierbar, also auch stetig.

|x−1| ist überall definiert und stetig, also ist f

überall , wo es difiniert ist auch stetig.

differenzierbar ist es bei x=1 allerdings nicht, denn   |x−1| ist dort nicht differenzierbar,

weil rechts- und linksseitige Ableitung verschieden sind , ist nämlich +1 und - 1 .

Damit ist auch f als Summe einer diffb. und einer bei x=1 nicht diffb Fkt

dort nicht diffb.

Fazit:   f außer bei pi/2 + n*pi überall definiert und stetig, aber bei

x=1 nicht differenzierbar.

Comments

Vielen lieben Dank finde die Aufgabe immer noch schwer aber zu mind kann ich es nachvollziehen.