Beweisen Sie die Produktformel für n ∈ N und x ≠ 1: (1+x)(1+x^2)…(1+x^ (2^ n)) = (1- x^ (2^ (n+1)))/(1-x)

Question

Beweisen Sie für n ∈ N und x ≠ 1:

$$ \prod _ { k = 0 } ^ { n } \left( 1 + x ^ { 2 ^ { k } } \right) = ( 1 + x ) \left( 1 + x ^ { 2 } \right) \ldots \left( 1 + x ^ { 2 ^ { n } } \right) = \frac { 1 - x ^ { 2 ^ { n + 1 } } } { 1 - x } $$

Ich komme mit der Aufgabe aus der Übung nicht klar.

Wäre super lieb, wenn ihr mir helfen könntet!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion. Produktformel zeigen: (1+x) (1+x^2) (1+x^4) .... (1+x^2n) = (1-x^{2n-1}) / (1-x)

Stichworte: induktion,produktformel,bruch

Ich muss diese Aufgabe mittels vollständiger Induktion beweisen :

(1+x) (1+x^2) (1+x^4) .... (1+x^2n) = (1-x^{2n-1}) / (1-x)

EDIT: Fehlende Klammern um Zähler und Nenner ergänzt. Aber noch ein Fehler im Exponenten! Vgl. Bild der Frage und Originalfrage 2013.

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Ich kann den Induktionsanfang schon nicht machen da ich nicht weiß wie ich das mit der linken Seite machen muss... also ich weiß nicht mit was ich rechnen soll ...

Answer 1

Das erste Gleichheitszeichen folgt aus der Definition für das Produktzeichen und ist wohl nicht zu beweisen.

Dann Verankerung:

Sei n = 1

(1+x) = (1-x^2)/(1-x) , x≠0

Grund 3. Binomische Formel (1+x)(1-x) = 1 - x^2

Ind. Schritt: n------> n+1

Ind.Vor. (1+x)(1+x^2)…(1+x^ (2^ n)) = (1- x^ (2^ (n+1)))/(1-x)

Ind. Beh. (1+x)(1+x^2)…(1+x^ (2^n)) (1+x^ (2^ (n+1))) = (1- x^ (2^ (n+2)))/(1-x)

Bew.

(1+x)(1+x^2)…(1+x^{2^n}(1+x^ (2^ (n+1))) | Indvor.

= (1- x^{2^{n+1}})/(1-x) * (1+x^{2^ (n+1)})

|auf einen Bruchstrich bringen

= ((1- x^ (2^{n+1})) * (1+x^ (2^ (n+1)))) / (1-x)

|3. Binomische Formel

= (1– x^ (2*(2^ (n+1))))) / (1-x)

= (1– x^ (2^ (n+2))) / (1-x)

qed.

Comments

Sein N = 1 dann muss stehen :

1+ x^{2 =} 1-x⁴/ 1-x oder

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jb4777: Du meinst wahrscheinlich

1+ x² = (1-x⁴ )/ (1-x)

Aber das stimmt nicht.

1+ x² = (1-x⁴ )/ (1-x)     | * (1-x)

(1+ x²) (1-x)  = (1-x⁴ ) ?

1 - x + x^2 - x^3   ≠ 1- x^4 

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ok , aber wie hast du den schritt bekommen :

(1+x) = (1-x²)/(1-x)   ?

da wenn ich n = 1 betrachte.:

Kannst du einbisschen ausführlich erklären.  Danke ;)

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3. binom. Formel

(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2

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Das weiß ich ja aber ich verstehe noch nicht wie hab ihr  so bekommen dass :

1+x^{2^n}= 1- x^{2^{n+1}}/ 1-x

Wenn man n = 1 betrachtet, stimmt das trotzdem nicht

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Das kleinste n ist 0 und nicht 1. Du machst für n = 0 die Verankerung. Das hat Lu wohl versehentlich falsch notiert.

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Ja aber wenn man n = 0 betrachtet dann stimmt wohl nicht weil

1+x²ⁿ mit n= 0 dann 1+x²ⁿ = 2

1- x²ⁿ⁺¹/ 1-x = 1-x² / 1-x

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Ich habe gerade dieses Beispiel durchgerechnet, jedoch habe ich ein Problem nach der 3. Binomischen Formel:

 |3. Binomische Formel

= (1– x^ (2*(2^ (n+1))))) / (1-x)

ich komme von dieser Form dann nicht auf

= (1– x^ (2^ (n+2))) / (1-x)

sondern auf: (1-x^{2*(2n+2)} / (1-x)

=(1-x^{4n+4}) / (1-x)

=(1-x^2^{2n+2}) / (1-x)

Bitte um eure Hilfe, habe irgendwo einen Denkfehler.

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Leider stehe ich vor dem selben Problem ich finde einfach nicht den richtigen Ansatz.
Kann das jemand etwas detailierter erläutern?

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= ((1- x^ (2^{n+1})) * (1+x^ (2^ (n+1)))) / (1-x)

|3. Binomische Formel

= (1– x^ (2*(2^ (n+1))))) / (1-x)

a) 3. Binomische Formel ( 1 - a)(1 + a) = 1 - a^2 

b) Potenzgesetze (b^n)^2 = b^n * b^n = b^{2n} 

Nun a = x^ (2^{n+1}) einsetzen

((1- x^ (2^{n+1})) * (1+x^ (2^ (n+1))))      | a) 

= 1-  (x^ (2^{n+1}))^2          | b)

= 1-  x^ (2*(2^{n+1}))

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Ich bin auch über diese Aufgabe gestolpert. Das Problem liegt in der Anwendung der Potenzgesetze. In diesem Fall darf der Exponent (linksseitig) \(2^{n} \) nicht als \(2n \) und der Exponent (rechtsseitig) \(2^{n + 1} \) nicht als \(2n + 2 \) gelesen werden.

Man hätte dem ganzen wohl vorbeugen können, wenn man linksseitig noch einen weiteren Faktor (für n = 3) hinzugefügt hätte. Dort geht es wie folgt weiter:

\((1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8) ... \) und spätestens dann wäre es wohl eindeutiger gewesen.