Bogenlänge der Kurve y = 1-ln(cos(x)) im Bereich 0 bis Pi/4

Question

$$y = 1-ln(cosx), \quad 0 \le x \le \frac {\pi}{4}$$

Man soll die Bogenlänge der Kurve berechnen.

Die Formel für die Bogenlänge lautet:

$$s = \int_a^b\sqrt {1+(f'(x))^2}dx$$

Also bestimme ich zuerst mal die Ableitung meiner Funktion und dann ihr Quadrat.

$$f'(x) = -\frac {1}{cosx}\cdot -sinx = \frac {sinx}{cosx} = tanx$$

$$(f'(x))^2 = tan^2x$$

$$s = \int _0^{\frac {\pi}{4}}\sqrt {1+tan^2(x)}dx$$

Doch wie nun weiter, weiss ich nicht. Wenn ich substitutioniere, muss ich auch die Grenzen neu bestimmen. Und das gibt dann für den oberen Fall eine hässliche Zahl.

Answer 1

∫ √(1 + TAN(x)^2) dx

Ich lasse das mal von Wolframalpha lösen.

Comments

Gilt nicht \(\cos x\sqrt{\sec^2x}=1\) im fraglichen Intervall?

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Ich gratuliere zur Vollversion von WA

Aber die Kenntnis Trigonometrische Funktionen gegenseitig darzustellen halte ich für praktikabler, als die im europäischen Schulraum wenig bekannte (co)sekans-Funktion in Substitutionen zu verarbeiten.

Insofern sind die WA-Lösungswege nicht immer als die grundsätzlich optimalen zu betrachten.

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Besten Dank für die Antwort. Leider ist es bei mir so, wie es pleindespoir passend erläutert hat, dass wir Sekans- und Kosekans-Funktionen nicht behandelt haben.

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bi810: Betrachte z.B. eine der "alternate forms" von sec(x)  von https://www.wolframalpha.com/input/?i=sec%28x%29

Resp. 

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Sicherlich kann man rausfinden, dass sec nicht Sekunde bedeutet ...

... ich gebe lediglich zu bedenken, dass eine Kopie einer WA-Lösung nicht vorbehaltlos hilfreich ist.

Wer diese Frage ursprünglich gepostet hat, hat sicherlich wenig Nerven, sich noch unbekannte Abkürzungen seltener Funktionen zu erarbeiten, um den Sinngehalt einer "hilfreichen" Antwort zu erschliessen.

WA verrät sie jedenfalls nicht :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sec

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Sollte jemand Google, Wikipedia und andere nützliche Seiten nicht kennen, so kann man immer noch nachfragen. Ich weiß, dass Schüler und Studenten immer darauf bedacht sind, die Lösung ohne viel Anstrengung auf einem Silbertablett serviert zu bekommen. Allerdings lernt man so nicht viel. Das Wolframalpha nicht immer den schönsten Weg aufzeigt ist mir klar, da ich Wolframalpha etwas häufiger benutze. Daher habe ich dort schon vor Jahren als mir die sec(x) Funktion das erste Mal vorgekommen ist dort in der Dokumentation nachgelesen. Wolframalpha gibt zu den meisten Funktionen die er verwendet gleich einen Link zur Beschreibung an. Aber man kann natürlich von Menschen nicht erwarten, dass sie wenn sie etwas nicht wissen nachlesen oder nachfragen.

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" Ich weiß, dass Schüler und Studenten immer darauf bedacht sind, die Lösung ohne viel Anstrengung auf einem Silbertablett serviert zu bekommen. Allerdings lernt man so nicht viel."

Diese Aussage findet meine vorbehaltlose Unterstützung !

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Kriegt eigentlich WA jetzt die beste Antwort? :D

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Wir können uns darauf einigen, dass

∫ √(1 + TAN(x)^2) dx 

= ∫ √(COS(x)/(COS(x))^2 + (SIN(x)/COS(x))^2) dx 

= ∫ √((SIN(x)^2 + COS(x)^2) / COS(x)^2) dx 

= ∫ √(1/COS(x)^2) dx 

= ∫ 1/COS(x) dx 

= ∫ SEC(x) dx

= LN(TAN(x/2 + pi/4)) + C

Wobei die Stammfunktion von SEC(x) aus der Formelsammlung entnommen worden ist.

Inzwischen ist das bestimmte Integral in der anderen Antwort gelöst worden. 

= ∫ (0 bis pi/4) SEC(x) dx = - LN(√2 - 1) = 0.8814

Answer 2

 .


Variante :

es ist -> 1+tan^2(x) = 1/ cos^2(x)

also hat  sqrt ( 1 + tan^2 (x))   folgende Stammfunktion ->

 ∫ √(1 + TAN(x)²) dx= ∫ [ 1 / cos(x) ] * dx = ln | tan (x / 2 + pi / 4 ) |  +c


und so ist es dann kein grosses Problem mehr  ,
das bestimmte Integral von 0 bis pi/4  zu berechnen

oder ?

.

Comments

Seltsame Stammfunktion.

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"

Seltsame Stammfunktion."

na ja - seltsame Reaktion...

es ist  -> 1 / cos(x) = sec (x)

und jetzt schau zB mal hier ->

https://de.wikipedia.org/wiki/Sekans_und_Kosekans#Integral

? !  -> ?

.

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$$\int\frac{\mathrm dx}{\cos x}=\log\left(\tan x+\frac1{\cos x}\right)+C.$$

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Sorry, habe wohl nicht richtig hingesehen.

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Besten Dank für diese hilfreiche Antwort. Leider erhalte ich auf diesem Wege ein von WA abweichendes Ergebnis. Könnte eventuell jemand mal nachrechnen?

Ich erhalte 0.4055, WA 0.8813 (https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+%281%2Btan%5E2%28x%29%29%29%5E%281%2F2%29+from+0+to+pi%2F4)

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aber log( tan(x) + 1/cos(x) )  ist für x= pi/4

log( 1 + 1/(o,5*wurzel(2) ) = log ( 1 + wurzel(2) ) = 0,881337

und für x=0 gibt es 0

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Mmh, welches ist denn nun bitte die richtige Identität? Habe wie vorgeschlagen und zusätzlich in meinem Tafelwerk eruiert das hier benutzt:

$$\int \frac {1}{cosx} = ln|tan(\frac {x}{2}+ \frac {\pi}{4})|$$ Und das führt auf ein falsches Ergebnis.

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"

Und das führt auf ein falsches Ergebnis. "

->  wieso meinst du das ? 

=>

ln | tan (x / 2 + pi / 4 ) |  

-> ausgewertet in den Grenzen von x=0 bis x= pi /4 ergibt gerundet 0,88134

was hast du denn als "richtiges" Ergebnis ?

=> ........?

.

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sqrt(1+tan(x)^2)=abs(sec(x))  -> da nur der Bereich 0.. Pi/4 interessant ist, kann das abs ignoriert werden.

Es ist also das identische Anfangsintegral und das identische Ergebnis:

log(tan(Pi/4/2+pi/4))-log(tan(0/2+pi/4)) =log(1+sqrt(2)) = log(3+2sqrt(2))/2 = asinh(1) = arccosh(sqrt(2))

=0.88137358701954302523260932497979230902816032826163541075329560865337718422202608783370689191025604...

lasst Euch nicht von den 5 verschiedenen Schreibweisen (Funktionsnamen)  verwirren -> es ist immer die selbe Konstante:

http://oeis.org/A091648 

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@ bh834: Ich erhalte 0.4055, Wolfram Alpha meint 0.8813 und ihr erhaltet ebenfalls das Ergebnis von Wolfram. Ich muss wohl einen Fehler machen.

Hier mal kurz die Grenzen in das Integral eingesetzt:

$$ln|tan(\frac {\pi}{8}+\frac {\pi}{4}) |-ln|tan(\frac {\pi}{4})|$$

Und das haue ich dann, so wie es dasteht, in meinen Taschenrechner ein und erhalte 0.4055.

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Kann es sein, dass du vergessen hast den TR ins Bogenmaß umzustellen ?

Manchmal langt es nicht das einfach nur in den TR zu hauen. Ab und zu ist auch mitdenken erforderlich.

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Fehler eruiert durch Mr. Mathecoach und Botschaft angekommen. (:

Besten Dank!

Natürlich ist das mein Fehler. Zu meiner Entschuldigung muss ich allerdings sagen, dass ich nicht verstehe, wieso ich Winkelfunktionen wie sin und cos und tan im DEG-Modus des Taschenrechners problemlos auswerten kann, im Falle dieser Verschachtelung der Bogenmass-Modus benötigt wird.

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Im Gradmaß rechnet man immer wenn man Winkel in Grad hat oder Winkel in Grad ausrechnen möchte.

Für Kurvendiskussionen rechnet man IMMER im Bogenmaß, denn nur dort ist die Ableitung vom SINUS der KOSINUS. Und auch nur dort gelten die anderen Ableitungsregeln und allgemeine Stammfunktionen der Formelsammlung.

Zeichne ruhig mal die Sinusfunktion im Intervall von -6 bis 6 einmal im Bogenmaß und einmal im Gradmaß mit einer Wertetabelle. Du siehst bereits das die Funktionen anders aussehen und weißt auch das sich die Steigung ändert und auch die Fläche unter dem Graphen.

Grundsätzlich gilt also was ich gesagt habe. Hast du Winkel im Gradmaß oder willst Winkel im Gradmaß haben benutzt man das Gradmaß (DEG) im Taschenrechner.

Hat man Gonometrische Funktionen im Bereich der Analysis dann rechnet man IMMER im Bogenmaß.

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Ich bedanke mich herzlich für Deine Antwort!

Ich werde das so machen.

Schönen Abend!