Funktionenschar gegeben durch f_a(x)=ax^3+x^2 - (x / a).

Question

Eine Funktionsschar gegeben durch f_a(x)=ax^3+x^2-(x / a).

a) Zeige, dass jeder Graph genau drei Schnittpunkte mit der x-Achse hat.

b) Zeige, dass jeder Graph genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat. Bestimme diese Punkte.

Answer 1

Hallo Anes,

Zu a):

Voraussetzung a≠ 0

Eine Nullstelle ist immer an der Stelle x= 0, da wir kein konstantes Glied haben.

Teilen wir die Gleichung durch x, erhalten wir eine quadratische Gleichung.

Du kannst die Nullstellen mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen angeben:

x₁₂ = -b/2a ± 1/(2*a) * √(b²  -4ac) = -1/(2*a) ± 1/(2*a) * √(1  +4a/a) =(-1 ± √5 ) / (2*a)

Da √5 grösser ist als 1 ist, gibt es neben x= 0 immer noch eine positive und eine negative Nullstelle.

Zu b) Hoch und Tiefpunkte ermitteltst Du mit der 1. Ableitung

f'(x) = 0 = 3ax² + 2x - 1/a

x₁₂ = -b/2a ± 1/(2*a) * √(b²  -4ac) = -2/(6*a) ± 1/(6*a) * √(1  +12a/a) =(-2 ± √13 ) / (6*a)

es gibt also auch immer 2 Extremstellen. Jetzt muss man nur noch zeigen, dass es einmal ein Minima und einmal ein Maxima ist, was aus der 2. Ableitung hervorgeht:

f''(x) = 6ax + 2 = (-2 ± √13 ) + 2 = ± √13

Also einmal negativ und einmal positiv, was bedeutet, dass es einmal eim Maximum und einmal ein Minimum ist.

Comments

es hat noch einen Fehler bei den Extremstellen:

x₁₂ = -b/2a ± 1/(2*a) * √(b²  -4ac) = -2/(6*a) ± 1/(6*a) * √(4  +12a/a) =(-2 ± 4 ) / (6*a)

x₁ = -1/a

x₂ = 1/(3a)

f''(x₁) = 6ax + 2 = -6 +2 = -4

f''(x₂) = 6ax + 2 =2 +2 = 4

Ich hoffe, es stimmt jetzt alles.

 

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Ich würde dir gerne für diese Antwort soviele Punkte geben damit du auf Rang 1 kommst .. DANKE vielmals Capricorn