Textaufgabe: Ein Lehrer steht an der Tafel und ...

Question

Ein Lehrer steht an der Tafel und zeichnet eine Linie beginnend von der linken Seite der Tafel nach rechts. Die Linie ist zehn Zentimeter lang. Dann zeichnet er, ohne abzusetzen, eine zweite Linie mit der halben Länge der ersten Linie nach rechts. Dann eine Dritte, mit einem drittel der Länge der Ersten. Dann eine Vierte mit einem viertel der Länge und so weiter und so fort. Der Lehrer arbeitet sehr sorgfältig. Mit spitzer Kreide fügt er pro Sekunde eine neue Linie hinzu. Die Tafel ist einen Meter neunzig breit.

Wie lange braucht der Lehrer bis er an der rechten Seite der Tafel angekommen ist?

Als der Lehrer fertig ist, konstruiert er je ein Quadrat über jede Linie. Die Seitenlänge der Quadrate entspricht dabei der Länge der jeweiligen Linien.

Wie groß ist der Flächeninhalt aller Quadrate zusammen annähernd?

Comments

Der Lehrer kann gut zeichnen!

Answer 1

Hi,

der Lehrer braucht ca.

3 Jahre 64 Tage 20 Stunden 16 Minuten und etwa 21 Sekunden

Edit: Es sollte klar sein, dass diese "ca." sehr optimistisch ist :D

Die Gesamtfläche der Quadrate liegt bei ca. 164,4934 cm². Also etwas unter \( \frac{50}{3} \pi^2 \) cm² ;)

Gruß

Comments

Yakyu  , lass mal die Lösungsformel sehen , habe anderes Ergebnis !

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Habe es per Brute Force gelöst ohne Abschätzung...

Kannst ja dein Ergebnis posten

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Kommt da noch was oder war das nur ein Bluff? ;)

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@Yakyu: Deine Antwort ist absolut richtig!!!

Der Lehrer fängt an mit 10cm und fügt an (addiert) 1/2*10cm +1/3*10cm+1/4*10cm...
also:     10cm · ∑1/x   mit x von 1 bis zum Ende der Tafel.

Wir betrachten die Harmonische Reihe mit guter Näherung:
Hn≈ log(t) + γ    mit der Euler-Mascheroni-Konstante ( γ = 0,57721... )
somit gilt:
190cm/10cm = log(t) + γ
nach t aufgelöst:
t = e^19-γ ≈ 100210581
entsprechnend t Linien bzw. Sekunden ergibt das etwa 3 Jahre, 64 Tage ...✓

Die Frage nach dem Flächeninhalt:
Das erste Quadrat ergibt: 10cm·10 cm = 100cm²
also:
100cm² · ∑ x ^-2 = 100cm² ·ζ (2) = 50/3 ·π² ·cm²  ✓

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Hey :) Hab meinen Brute-Force Durchlauf ebenfalls über die harmonische Reihe laufen lassen, weil ich gucken wollte, ob die Präzision ausreichend ist. Was mir nicht bewusst war, dass die Näherung (mit der Euler-Mascheroni-Konstante) ebenfalls auf dieses Ergebnis hinausläuft. Vielen Dank für diesen Nachtrag.