Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. Berechnen Sie das Luftvolumen. (Messehalle, Zeltanbau, Integralrechnung)

Question

Aufgabe:

Eine Messehalle soll durch einen Zeltanbau erweitert werden. Das Dach hat parabelförmiges Profil. Es liegt am unteren Ende tangential an. Die Maße sind der nebenstehengential an. Die Maße sind der Skizze zu entnehmen. Zur Festlegung der erforderlichen zusätzlichen Heizleistung muss das Luftvolumen des Anbaus bekannt sein.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.

b) Berechnen Sie das Luftvolumen.

Ansatz/Problem:

f(x) = ax² + bx + c

3 Bedingungen:
1. f(0) = 14 -> c = 14
2. f(12)= 8 -> 8 = 144a + 12b + c
3. f'(12) = 0 -> 0 = 24a + b

3. hab ich nach b umgestellt und dann in 2. eingesetzt und am Ende kam ich auf:
f(x) = 1/24x² - x +14

Ich wollte dann die quadratische Funktion in Scheitelpunktform umschreiben um alles nochmal zu überprüfen und kam dann auf :

$$ f(x) = (\frac{\sqrt{6}}{12}x - \sqrt{6})^2 + 8 $$

Damit wäre der Scheitelpunkt jedoch bei S( √6 / 8), was ja nicht stimmt.

Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?

Answer 1

Scheitelform ist falsch:

f(x) = 1/24x² - x +14

24f(x) = x^2 - 24x + 336

24f(x) = x^2 - 24x +144 - 144 + 336

24f(x) = (x-12)^2 + 192

f(x)= (1/24) * (x-12)^2 + 8   Scheitel (12/8) Bingo

Comments

Achso, also war meine Fkt richtig aber die Scheitelformfkt nur falsch? :)

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So ist es. Kommt natürlich immer drauf an, wie du dir das Koordinatensystem vorstellst. Du hast die y-Achse ja links hingelegt, der mathecoach rechts.

Answer 2

a = (14-8)/12^2 = 1/24

f(x) = 1/24·x^2 + 8

V = 10·∫(1/24·x^2 + 8, x, -12, 0) = 1200 m³