Injektivität und Implikation beweisen

Question

Ich soll folgende Aufgaben lösen:

Ich soll zeigen, dass eine Funktion f: A→B genau dann injektiv ist, wenn je zwei unterschiedliche Elemente von A verschiedene Bilder unter f haben.

UND

Ich soll zeigen, dass für alle injektiven Funktionen f: A→B, C⊆A und D⊆B folgende Implikation gilt:

f(C) = D ⇒ f^-1 (D) ⊆ C

Ich kann zwar imaginär die Frage beantworten, aber wie fange ich eine Antwort auf eine Frage an, die mit "Zeigen Sie" anfängt?

Answer 1

Häufig wird ja Injektivität so definiert:

Wenn f(a)=f(b) dann gilt a=b.           #

Das ist zu der angegeben Aussage äquivalent:

dass eine Funktion f: A→B genau dann injektiv ist,

wenn je zwei unterschiedliche Elemente von A verschiedene Bilder unter f haben.  ##

Es ist also nur zu zeigen, dass die Def. von ## äquivalent zu der von # ist:

1. aus ## folgt #:

sei f eine Funktion, bei der je zwei verschiedene Elemente a und b

auch verschieden Bilder haben. sei nun f(a)=f(b), dann können a und b nicht verschieden sein,

sind also gleich und damit ist f injektiv. nach #

2. aus # folgt ## Es gelte # und seien nun a und b zwei verschiedene Elemente. Dann sind auch die

Bilder verschieden; denn aus  f(a)=f(b) würde nach # a=b folgen.

Ich soll zeigen, dass für alle injektiven Funktionen f: A→B, C⊆A und D⊆B folgende Implikation gilt:

f(C) = D ⇒ f^-1 (D) ⊆ C

Nimm also an, es sei   f(C) = D

Um zu zeigen, dass f^-1 (D) ⊆ C gilt, denkt man sich ein Element x aus  f^-1 (D) und versucht zu

begründen, dass dieses auch in  C  liegt.  Sei also  x aus  f^-1 (D)

Dann heißt das, dass es ein z aus D gibt mit f(x) = z wegen   f(C) = D ist das z also aus f(C).

und in f(C) sind ja die Bilder der Elemente von C, und weil z=f(x) ist und wegen der Injektivität z kein

anderes Urbild haben kann ist  damit x aus C.

Comments

Dein zweiter Teil funktioniert mit der Argumentation erst, wenn du die Injektivität verwendest. Schön das hier auch Antworten nach der Länge bewertet werden.

---

Danke für den freundlichen Hinweis auf eine

Argumentationslücke. Habe ich korrigiert.

---

"wegen der Injektivität z kein 

anderes Urbild haben kann"

Wäre die Abbildung keine injektive Abbildung, müsste die Implikation trotzdem stimmen, oder?

Das Urbild von D wäre ja wieder C

---

wäre die Abb. nicht injektiv, könnte z mehrere verschiedene Urbilder haben, eines

ist dann das x aus C aber vielleicht gäbe es andere, die nicht in C liegen.

---

Auch wenn z mehrere Urbilder hätte, müsste x Element von C sein.

x wäre dann Element von C und einer anderen Menge. 

Wo liegt mein Denkfehler?

Answer 2

also die erste Aussage ist doch eigentlich nur die Definition von Injektivität. Wenn eure anders ist dann musst du zeigen, dass diese äquivalent zu dieser Aussage ist.

Die zweite Aussage kannst du per Widerspruch zeigen: Nehme an \( x \in f^{-1}(D) \) aber \(x \notin C\). Kann dann \(f\) injektiv sein?

Gruß

Answer 3

Tag,

Also 'Zeigen Sie' bedeutet ungefähr(!) dasselbe wie 'Beweise'. Du musst eben einen allgemeingültigen Beweis finden*.

Definition von Injektivität --> https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivität

Also eigen formuliert: Jedes b ∈ B, besitzt maximal(!!) ein a ∈ A, für das f(a)=b gilt. Durch das 'maximal' wissen wir, dass es nicht mehrere a's gibt, die auf ein- und dasselbe Element b abbilden. Anders formuliert: Jedes Element von A bildet auf ein anderes aus B ab. Somit:

  Wenn f(x) = f(y) => x=y. Vorausgesetzt natürlich x,y ∈ A. 

Jetzt dürfte eig. alles klar sein, das war keine Direktlösung (beabsichtigt) und soll dir selber auch noch ein bisschen zum Denken lassen. Fragen?  Frag!

Gruss

*Allgemeingültig soweit, wie in der Aufgabe eben verlangt wird