Aufgabe:
Maximale Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen
Die Durchschnittsgeschwindigkeit von \( t=k \) und \( t=k+1 \) berechnet sich so: \( \bar{v}(k)=\frac{s(k+1)-s(k)}{(k+1)-k}=s(k+1)-s(k) \)
Der zurückgelegte Weg wird durch die benötigte Zeit geteilt.
Wir bilden diese Funktion und bestimmen anschließend ihren Hochpunkt.
\( \begin{aligned} \bar{v}(k)=s(k+1)-s(k) &=-\frac{1}{6}(k+1)^{3}+(k+1)^{2}+\frac{1}{6}(k+1)-\left(-\frac{1}{6} k^{3}+k^{2}+\frac{1}{6} k\right) \\ &=-\frac{1}{6}\left(k^{2}+2 k+1\right)(k+1)+k^{2}+2 k+1+\frac{1}{6} k+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} k^{3}-k^{2}-\frac{1}{6} k \\ &=-\frac{1}{6}\left(k^{3}+3 k^{2}+3 k+1\right)+2 k+\frac{7}{6}+\frac{1}{6} k^{3} \\ &=-\frac{1}{6} k^{3}-\frac{1}{2} k^{2}-\frac{1}{2} k-\frac{1}{6}+2 k+\frac{7}{6}+\frac{1}{6} k^{3} \\ &=-\frac{1}{2} k^{2}+\frac{3}{2} k+1 \end{aligned} \)
Nun wird der Hochpunkt dieser Funktion bestimmt. Er gibt uns dann den Wert für \( k \) an, für den die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall \( [k ; k+1] \) am größten ist.
Zunächst bilden wir die ersten beiden Ableitungen.
\( \begin{array}{l} \vec{v}^{\prime}(k)=-k+\frac{3}{2} \\ \vec{v}^{\prime \prime}(k)=-1 \end{array} \)
Zur Bestimmung des Hochpunktes wird \( \vec{v}^{\prime}(k)=0 \) gesetzt.
\( -k+\frac{3}{2}=0 \quad \Longleftrightarrow \quad k=\frac{3}{2}=1,5 \)
Da \( v^{\prime \prime}(k)=-1 \), liegt hier in der Tat ein Hochpunkt vor. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also im Intervall \( [1,5 ; 2,5] \) maximal.
Ansatz/Problem:
Ich habe eine Frage zu dem Ausdruck v(k)= s(k+1)-s(k) / (k+1) - k
Wieso wird nur mit dem oberen Teil weitergerechnet und der untere weggelassen? Also kurz: wieso wird ( k+1) - k einfach wegelassen?
