Vollständige Induktion bei zwei Ungleichungen: Bsp. n^2 ≤ 2^n für n≠3.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

(i) Für jede natürliche Zahl \( n \neq 3 \) gilt: \( n^{2} \leq 2^{n} \)

(ii) Für jede natürliche Zahl \( n \geq 4 \) gilt: \( 2^{n}<n \)

Answer 1

Induktionsanfang: n = 4

2^4 < 4!

16 < 24 → stimmt!

Induktionsschritt: n → n + 1

2^{n + 1} < (n + 1)!

2 * 2^n < n! * (n + 1)

2^n < n! aus Induktionsannahme und

2 < (n + 1) aus Induktionsannahme.

n^2 ≤ 2^n für n ≠ 3

Induktionsanfang: n = 1, 2 und 4

n = 1

1^2 ≤ 2^1

1 ≤ 2

n = 2

2^2 ≤ 2^2

4 ≤ 4

n = 4

4^2 ≤ 2^4

16 ≤ 16

Induktionsschritt: n → n + 1

(n + 1)^2 ≤ 2^{n + 1}

n^2 + 2·n + 1 ≤ 2·2^n

n^2 + 2·n + 1 ≤ 2·n^2

2·n + 1 ≤ n^2

n^2 - 2·n - 1 ≥ 0

n ≥ √2 + 1 = 2.414

Das ist aber bei n ≥ 4 sicher gegeben.

Comments

Hi Mathecouch, danke dir für deine Antwort.

Leider habe ich nicht ganz verstanden, wie du den Induktionsschritt gemacht hast. Die erste Zeile des Induktionsschritt beider Aufgaben habe ich verstanden ( also ist halt zu zeigen ist :...), aber wie hast du (n+1)

nun dazu gerechnet :S.

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(n + 1)² ≤ 2^{n + 1}

n² + 2·n + 1 ≤ 2·2ⁿ

Links wenden wir die binomische Formel an und Rechts die Potenzgesetze.