Bakterienwachstum: In welcher Minute des Prozesses steigt die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit über 30?

Question

ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe.

Ein Bakterienbestand wächst nach der Formel N(t)=200*1.08t
 t=Zeit in Minuten seit Beobachtungsbeginn, N=die Anzahl der Bakteiren zur Zeit t.

In welcher Minute des Prozesses steigt die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit über 30?

Es gibt mehrere solcher Aufgaben, allerdings weiß ich nicht wie man das rechnen muss. Könnte mir vielleicht jemand an dieser Aufgabe erklären wie es geht, bzw. es vorrechnen?

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Comments

Meinst du 1.08 * t oder 1.08^t ?

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1.08^t meinte ich, sorry.

Answer 1

Ein Bakterienbestand wächst nach der Formel
N ( t ) =200 * 1.08^t
 t=Zeit in Minuten seit Beobachtungsbeginn,
N=die Anzahl der Bakteiren zur Zeit t.

In welcher Minute des Prozesses steigt die mittlere
Wachstumsgeschwindigkeit über 30?

mittlere Wachstumsgeschwindigkeit

( Ende - Anfang ) / Zeit

mittlere Wachstumsgeschwindigkeit : [ N ( x + 1 ) - N ( x ) ] / 1 min

( 200 * 1.08^{x+1} - 200 * 1.08^x ) / 1 = 30
200 * ( 1.08^{x+1} - 1.08^x )  = 30
1.08^{x+1} - 1.08^x   = 30 / 200
1.08^x * 1.08^1 - 1.08^x = 3/20
1.08^x * ( 1.08 - 1 ) = 3/20
1.08^x * ( 1.08 - 1 ) = ( 3/20 )  /  0.08
1.08^x = 1.875  | ln ( )
x * ln ( 1.08 ) = ln ( 1.875 )
x = ln ( 1.875 ) / ln / 1.08 )
x = 8.167

Damit der Wert der Wachstuimsgeschwindigekeit > 30 ist nehmen wir
x = 9
 Probe
( 200 * 1.08^{x+1} - 200 * 1.08^x ) / 1
( 200 * 1.08^{9+1} - 200 * 1.08^9 ) / 1
431.785 - 399.8
32

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

Graph :
Momentangeschwindigkeit / Zeit

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Dem Text folgend muss

$$\dfrac{200\cdot 1.08^t - 200\cdot 1.08^0}{t-0}=30$$gelöst werden, was auf \(t\approx 15.77\) führt. Das wäre dann die 16. Minute.

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Es gibt da denke ich durchaus 2 Interpretationsmöglichkeiten. Ich persönlich hätte es auch wie georgborn interpretiert. Bei einer Mittleren Wachstumsgeschwindigkeit braucht man immer ein Intervall um es zu berechnen. Hier wird aber nur das Minutenintervall genannt.

In welcher Minute des Prozesses steigt die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit [in dieser Minute] über 30?

Wer sagt das die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit vom Anfang bis zu einem Zeitpunkt genommen werden soll.

Ich habe hier auch eine Abituraufgabe mit einer ähnlichen Formulierung vorliegen. Dort wurde auch in der Musterlösung die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in dieser Minute genommen.

Vergleiche dazu auch eine ältere Antwort von mir.

https://www.mathelounge.de/375351/mittlere-anderungsrate-welcher-minute-mittlere-wachstumsrate

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Im Text ist von "dem Prozess" die Rede und der umfasst eben den gesamten Beobachtungszeitraum. Von "mittlerer Wachstumsgeschwindigkeit pro Minute" steht hingegen nichts in der Angabe, ist also eine vom Text nicht gedeckte Interpretation. Hätte der Aufgabensteller das im Sinn gehabt, hätte er es auch schreiben können.

Die "pro Minute" - Interpretation ist eine Näherung für die Momentangeschwindigkeit, die im vorliegenden Fall aber auch leicht direkt berechnet werden kann. Ich möchte damit nicht sagen, dass diese Auffassung unsinnig ist, sie wird vom Text nur nicht nahegelegt.

Es kann natürlich sein, dass etwas fehlt, zum Beispiel weil der Frager die Aufgabe verkürzt wiedergegeben hat.

Bei der verlinkten Aufgabe (Bigalke/Köhler?) stellt sich die Frage, ob der Löser beim Lösen von c) dem Aufgabenteil a) oder dem Aufgabenteil b) folgen will, so dass hier fallweise die eine oder die andere Interpretation naheliegt.