Konvergente Folge an = ((2n+8)/n))^{5-n}

Question

Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte, dass die nachstehenden Folgen konvergent sind.

$$ a_n = \left( \frac { 2 n + 8 } { n } \right) ^ { 5 - n } $$

Ich weiß nicht wie ich bei a_n mit der ^{5-n} umgehen soll.

Answer 1

Das ist dasselbe wie

an = ((2n+8)/n)^5) *(n/(2n+8))^n)

Der Grenzwert des ersten Faktors ist 2^5.

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Vielleicht kannst du damit den 2. Teil so abändern, dass die 1. Formel e= lim… benutzt werden kann.

Etwas angenehmer zu brauchen ist wohl:

Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit n ∈ ℕ:
$$ \exp ( x ) = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { x } { n } \right) ^ { n } $$

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion