Wie kann ich verifizieren dass das eine Isometrie ist?

Question

Angenommen ich habe die orthonormale Basis

\( [v]=\left[\left(\begin{array}{c}1 / \sqrt{3} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{3}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 / 3 \\ 2 / 3 \\ -1 / 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3}\end{array}\right)\right] \)

und

\( f_{[v] \rightarrow[v]}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) \)

also eine Spiegelung an der xy-Ebene. Wie kann ich verifizieren dass das eine Isometrie ist?

Comments

Es handelt sich um eine Isometrie, wenn der Abstand 2er  beliebiger Punkte nach der Spiegelung immer noch derselbe ist.

Übrigens handelt es sich bei deiner Abbildung um die Spieglung bezüglich der Standardbasis und nicht bezüglich deiner Basis! (außerdem siehe mathefs Beitrag)

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Achso, ich vergaß die Basis zu normieren, also das wäre meine Basis:

\( [v]=\left(\begin{array}{ccl}1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 0 & 2 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ -1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3}\end{array}\right) \)

Wenn ich jetzt an der xy-Ebene spiegle, heisst das mein

\( f_{[v] \rightarrow[v]}=\left(\begin{array}{ccc}1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 0 & 2 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{6} & -1 / \sqrt{3}\end{array}\right) \)

Und wie kann ich zeigen, dass sich der Abstand nicht verändert nach der spiegelung? Einen Vektor mit der Basis multiplizieren und die Länge bevor und nach der Spiegelung vergleichen?

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Das ist immer noch nicht die richtige Abbildung. Du hast weiterhin eine Abbildung bezüglich der Standardbasis. Du sollst aber eine Abbildung bezüglich deiner ONB angeben! Das heißt du musst das ganze noch von links mit der Inversen deiner Koordinatentransformationsmatrix multiplizieren.

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Oke ich sehs echt nicht... heisst das ich muss

[v] * [v]^-1 rechnen, um f_[v]→[v]  zu bekommen?

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Nein, das wäre ja einfach nur die Einheitsmatrix. Wenn \(M\) die Matrix deines Basiswechsel (also die, in der einfach die Spalten die Basisvektoren deiner ONB sind) und \(G\) die Matrix der Spiegelung an der xy-Ebene (die schöne Matrix mit der -1 am Ende). Dann ist die darstellende Matrix \(D_f\) der Abbildung von \(f\) bezüglich deiner ONB eben: 

$$ D_f = M^{-1}GM $$

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achso danke, aber das wäre ja Idn _[v]→[e] f _[v]→[v] Idn _[e]→[v] und somit f _[e]→[e] ?

und noch von vorher:  wie kann ich zeigen, dass sich der Abstand nicht verändert nach der spiegelung? Einen Vektor mit der Basis multiplizieren und die Länge bevor und nach der Spiegelung vergleichen?

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Man man man kann es sein, dass es um diese Aufgabe geht?

https://www.mathelounge.de/226839/euklidsches-skalarprodukt-isometrie-verifizieren

Dann ist natürlich deine ursprüngliche Abbildung richtig! Es geht nämlich nicht um die Spiegelung an der xy-Ebene sondern um die Spiegelung an der v1v2-Ebene. -.- Bestes Beispiel dafür das doppelt fragen hier nicht vorteilhaft ist (insbesondere wenn man die Fragestellung abändert).

Um zu schauen, ob es sich um eine Isometrie handelt nimmst du 2 beliebige Punkte. Der Abstand dieser Punkte vor der Spiegelung muss gleich dem nach der Spiegelung sein. Kriegst du das hin?

Answer 1

Das ist gar keine orthonormale Basis

Der erste Basisvektor hat die Länge wurzel(2/3) oder hast du

eine andere Metrik ?