Aufgabe zu Matrix und einfachen Eigenwerten

Question

wir haben folgende Aufgabe (Bonusaufgabe) bekommen, die wir zwar nicht beantworten müssen, es sich für die Prüfung dann wohl aber lohnt sie zu verstehen denke ich:

Wir müssen beurteilen und begründen ob folgende Aufgaben wahr oder falsch sind:

a) Jede 3 x 3 Matrix mit reellen Koeffizienten hat mindestens einen Eigenwert.

b) Hat A∈ℝ^3x3 einen nicht reellen Eigenwert, so sind alle Eigenwerte von A einfach.

bei a) würde ich sagen ja, falls es zu einem irreduziblen Polynom kommt, es fällt mir jedoch gerade keine Matrix ein die das erfüllen würde und b) weiss ich nicht genau

Answer 1

Das char. Polynom beiner reellen3*3 Matrix hat immer

Grad 3 also mind. eine Nullstelle, also mind. ein Eigenwe.

hat es einen nicht reellen Eigenwert, dann ist der

dazu konjugiert komplexe Wert auch ein Eigenwert (Nullstelle

des char Pol. ) und da der erste nicht reell war sind die beiden verschieden.

Der dritte muss dann ein reeller Wert sein, also von den ersten beiden verschieden.

Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt, sind alle einfach.