Wie erfindet man eine 3x3 Matrix mit Eigenwerten?

Question

Aufgabe:

Wie findet man eine 3x3 Matrix mit Eigenwerten (und -Vektoren), die sich für eine Populationsentwicklung eignen?

Problem/Ansatz:

Nicht jede Matrix scheint Eigenwerte zu besitzen, ich weiß aber nicht wovon das abhängt.

z:B.: Matrix 1 aus dem Buch hat drei Eigenwerte.

0	1.1	0.3
0.6	0	0
0	0.6	0

=M1

Meine erfundene Matrix 2 für verschiedene Entwicklungsstufen hat keine reellen Ergebnisse.

0	0	300
0.6	0	0
0	0.15	0

=M2

Ich hab auf dem Wege von Trial-and-Error versucht aber ich bin jetzt ratlos.

Comments

Jede reelle 3×3-Matrix hat mindestens einen reellen Eigenwert.

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Wie finde ich eine Matrix, die drei reelle Eigenwerte hat?

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Zum Beispiel hat die Matrix \(\begin{pmatrix}x&a&c\\0&y&b\\0&0&z\end{pmatrix}\) die Eigenwerte \(x,y,z\).

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Wie kommt man darauf?

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Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind deren Diagonalelemente.

Answer 1

Deine Matrix sollte aber einen reellen Eigenwert und Eigenvektor haben. Das ist bei der typischen Struktur eigentlich immer der Fall. Bilde doch mal M^3

Comments

M^3 gibt mir 27 auf der Diagonalen und sonst Nullen. Das bedeutet doch, dass es eine zyklische Leslie-Matrix ist? Hat das was mit den Eigenwerten zu tun?

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Ja. In 3 Schritten hast du das 27-fache

In einem Schritt müsste man dann etwa das \( \sqrt[3]{27} = 3\)-fache haben