Teilmengen des R^2 untersuchen. Bsp. C = R x Q. offen, abgeschlossen, Häufungspunkte ...

Question

Welche der folgenden Teilmengen des R2 sind offen, abgeschlossen und beschränkt. Gib alle innere Punkte, Randpunkte, Berührungspunkte, Häufungspunkte und isolierte Punkte der Mengen an.

$$ \left. \begin{array} { l } { A = \left\{ \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) : 0 < x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } < 1 \right\} } \\ { B = \left\{ \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) : 3 x _ { 1 } - 5 x _ { 2 } = 7 \right\} } \\ { C = \mathbb { R } \times \mathbb { Q } } \end{array} \right. $$

Comments

a) ist beschränkt und sicher nicht abgeschlossen.

Benutze die Definitionen der Begriffe, um den Rest zu beurteilen.

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Okay wenn  ich wüsste wie ich die Definitionen anwende, hätte ich die Frage nicht gestellt. ?

Answer 1

0<x^2 +y^2 < 1
offen hieße doch: Zu jedem Punkt, gibt es eine ganze Umgebung, die in A liegt
wenn P (x,y) aus A, dann ist x^2 +y^2=c und c zwischen 0 und 1
wähle dann epsilon = minimum von  c/2 und   (1-c)/2  und U_epsilon von P ist in A
abgeschlossen heisst:
Komplement von A ist offen. Da aber (0/0) im Komplement von A, aber in jeder eps-Umgebung
(jedenfalls für kleine eps, auf die kommt es an)
von (0/0) mit   (0;  eps/2) ein Punkt von A liegt, ist das Komp. nicht offen
beschränkt, da für alle P aus A jedenfalls |P| < 1

Answer 2

Sei mir nicht böse; aber wenn du das nicht weißt, hast du dein Studienfach verfehlt.

a) ist der (offene) Einheitskreis ===> offen ( Das Innen===> Gebiet ; der ===> offene Kern )

b) ist eine Gerade ; das heißt aber, dass auf der selben jede ===> Cauchyfolge konvergiert ===> abgeschlossen

Bei c) möchte ich dich daran erinnern, warum wir die reellen Zahlen erfunden haben: >Q ist gerade nicht abgeschlossen; Cauchyfolgen konvergieren auf |Q nicht. Diese Menge ist nicht abgeschlossen.

Offen ist sie auch nicht, da jede Umgebung einer rationalen Zahl auch irrationale Zahlen enthält ( Warum? )

Mir ist zu der b) noch eine Idee gekommen: Nelsonteorie, siehe https://www.mathelounge.de/231507/beweis-offene-und-geschlossene-teilmenge-des-r-2 Ich benutze das hier. Wir haben doch die Zerlegung:

x1 = X1 + €   ( 1a )
x2 = X2 + µ   ( 1b )

Zu zeigen

( x1 | x2 ) € B ===> ( X1 | X2 ) € B   ( 2 )

3 X1 + 3 € - 5 X2 - 5 µ = 7   ( 3 )

Wir hatten aber gesagt, diese Zerlegung ist eindeutig:

3 X1 - 5 X2 = 7    ( 4a ) ; wzbw

3 € - 5 µ = 0  ( 4b )