Stammfunktionen von 1/(1+ax2) , 1/ (a-x2) und 1/(sin (ax))2 mittels Substitution bestimmen

Question

Bei der Aufgabe soll ich einfach nur die Stammfunktion finden:

a) $$\int \frac { d x } { 1 + a x ^ { 2 } }$$

b) $$\int \frac { d x } { a - x ^ { 2 } }$$

c) $$\int \frac { d x } { \sin ^ { 2 } ( a x ) }$$

Das Problem ist, dass ich nicht verstehe wie die Substitution hier an gewendet werden soll, besonders bei der 1. Gleichung.

Die Stammfunktion für 1 lautet: $$F ( x ) = \frac { \arctan \left( \frac { x } { \sqrt { a } } \right) } { \sqrt { a } }$$

Die große Frage ist, wo kommt Wurzel a her?

Answer 1

Schau mal her, wie man da rangeht. Beachte, dass ich meine Substitution in geschweifte Klammern gesetzt habe.

a) $$\begin{array} { l } { \int \frac { 1 } { a x ^ { 2 } + 1 } d x = \{ u = \sqrt { a } x \text { und } d u = \sqrt { a } d x \} = \frac { 1 } { \sqrt { a } } \int \frac { 1 } { u ^ { 2 } + 1 } d u } \\ { = \frac { \arctan ( u ) } { \sqrt { a } } + c = \frac { \arctan ( \sqrt { a } x ) } { \sqrt { a } } + c } \end{array}$$

b) $$\int \frac { 1 } { a - x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { a } \int \frac { 1 } { \left( 1 - \frac { x ^ { 2 } } { a } \right) } d x = \left\{ u = \frac { x } { \sqrt { a } } \text { und } d u = \frac { 1 } { \sqrt { a } } d x \right\} = \frac { 1 } { \sqrt { a } } \int \frac { 1 } { 1 - u ^ { 2 } } d x = \frac { \operatorname { arctanh } ( u ) } { \sqrt { a } } + c = \frac { \operatorname { arctanh } \left( \frac { x } { \sqrt { a } } \right) } { \sqrt { a } } + c$$

c) $$\int \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( a x ) } d x = \{ u = a x \text { und } d u = a d x \} = \frac { 1 } { a } \int \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } ( u ) } d u = - \frac { 1 } { \tan ( a x ) \cdot a } + c$$

Grüße

Comments

das hab ich verstanden aber wie kommst du eig darauf dass u= √a x ?

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Da ich den Bruch schon fast in der Form 1/(u^2+1) habe, möchte ich ihn vollens auf die Form bringen.

Das a stört. Brauche also die Wurzel davon, damit ich auf die obige Wunschform komme ;).

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du kannst doch nicht einfach so die wurzel von a ziehen? das entspricht doch nicht die regel der Substitution

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Ja, aber wieso denn nicht?^^

 

Schau:

u=√a x

u^2=(√a x)^2=ax^2

 

Passt also, oder siehst Du das anders? ;)

Bedenke, dass a=√a√a

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ich kann dir folgen
aber ist es irgendwie nicht so dass man bei Substitution F(g(x))
hierbei g(x) ableiten muss ?

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Ich kann Dir grad nicht folgen?

Wenn Du eine Substitution machst, musst Du auch ableiten. Um dx zu ersetzen.