Gleichung lösen (9*2^{x}-4^{x+1} = 2)

Question

Hi, mit welchen Verfahren kann ich die Lösungen der folgenden Gleichung berechnen?

 

9*2^{x}-4^{x+1} = 2

 

Ich hab da überhaupt keine Idee :/

Hoffentlich kann mir da jemand von euch behilflich sein!

MfG

Martin

Answer 1

9*2^x-4^x+1 = 2

9*2^x - 4*4^x = 2

9*2^x - 4*(2^x)^2 = 2

Setze u = 2^x

9u - 4u^2 = 2

Jetzt quadratische Gleichung für u lösen und aus den Lösungen x bestimmen (rücksubstituieren)

0 = 4u^2 - 9u + 2

u1,2 = 1/8 * (9 ± √(81 - 32)) = 1/8 * (9 ±7)

u1 = 2   = 2^1       Also x1= 1

u2 = 1/4 = 2^{-2}        Also x1= -2

Probe

9*2 - 16 = 2

9/4 - 1/4 = 2 

beide ok.

Comments

Ok ich kann soweit alles nachvollziehen bis auf Schritt Nr. 2

9*2x - 4*4x = 2

 

Kannst du mir nochmal genauer Erläutern was du da machst?

Vielen Dank für deine Hilfe

MfG

Martin

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Ich benutze die Potenzgesetze https://www.matheretter.de/wiki/potenzen

Ausführlicher:

4^{x+1} = 4^x * 4^1 = 4^x * 4 = 4*4^x

4*4^x = 4*(2^2)^x = 4*2^{2x} = 4*2^{x*2} = 4*(2^x)^2

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könntest du erklären bitte wie du von 4u^2 -9u +2 auf die einzusetzenden Werte in deiner Gleichung, die für mich wie ein wenig wie die pq-Formel aussieht, gekommen bist. Das wäre spitze.

Vielen Dank

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Ich benutze die sog. Mitternachtsformel.

Wenn du die pq-Formel benutzen willst, musst du die Gleichung erst noch durch 4 dividieren.