Ableitung, Ausmultiplizieren, kürzen

Question

bitte helft mir bei dieser Aufgabe:(-x+3)/(x^2-9)Ich habe als Antwort da raus:(x^2-6x+9)/(x^2-9)^2So, es soll jetzt vereinfacht werden und rauskommnt:1/(x^2+6x+9)Und hier ist mein Problem. Wenn ich das ausmultipliziere und kürze, kommt bei mir raus:1/(x^2+3x+9)Ich verstehe nicht wo der Fehler ist. Bitte helft mir, wenn möglich mit nem Rechenweg, wie mann das kürzt, dass dort das andere Ergebnis rauskommt.Danke

Comments

Kürze doch vor dem Ableiten, das ist hier einfacher!

Answer 1

f(x) = (-x + 3)/(x^2 - 9) = - (x - 3)/((x + 3)·(x - 3))

Stetige Ergänzung

f(x) = - 1/(x + 3) = (x + 3)^{-1}

Ableiten

f'(x) = (x + 3)^{-2} = 1/(x + 3)^2

Comments

Leider erkenne ich nicht die Lösung. Ich habe die Aufgabe mit der Quotientenregel gelöst. Im Zähler steht dann: x^2-6x+9. Im Nnner steht ja: x^2-9. Wenn ich das ausmultipliziere kommt raus: x^4-18+81.

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Geht es auch, wenn ich meine ermittelten Zähler und den Nenner faktorisiere und einzeln kürze? Dann komme ich auf das Ergebnis, weiß aber nicht, ob das Zufall ist oder das aus mathematischer Sicht legetim ist.

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Bevor du anfängst abzuleiten kannst du den Quotienten kürzen. Der Ausdruck (x - 3) befindet sich sowohl im Zähler aus auch im Nenner.

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Stimmt, jetzt sehe ich das auch. Danke dir

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Du kannst auch nachher Kürzen

(x^2 - 6·x + 9) / (x^2 - 9)^2

= (x - 3)^2 / ((x + 3)·(x - 3))^2

= (x - 3)^2 / ((x + 3)^2·(x - 3)^2)

= 1 / (x + 3)^2

Es gilt aber der allgemeinen Grundsatz: wer vorher kürzt, hat nachher nicht so viel zu rechnen.

Answer 2

(x²-6x+9)/(x²-9)²

nehmen wir einmal an bis hierhin stimmt deine Rechnung
Dann machen eine Polynomdivision allerdings vom Kehrwert
( x^2 - 9 )^2 / ( x^2 - 6x + 9  )
x^4 - 18 x^2 + 81 : x^2 - 6x + 9 = x^2 + 6x + 9
( x + 3 )^2

und das Ganze wieder als Kehrwert
1 / ( x+ 3)^2