Welcher Punkt liegt näher an der Geraden?

Question

Gegeben:

Gerade

$$ u=\begin{pmatrix} 2  \\ 0  \\ 0   \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -2   \\ 0   \\ 0   \end{pmatrix} $$

Punkte $$ { q }_{ 1 }=\begin{pmatrix} 1  \\ 1   \\ 0   \end{pmatrix},\quad { q }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 1   \\ -1   \\ 0  \end{pmatrix}$$

Frage: Welcher Punkt liegt näher an der Geraden?

Ich habe mittel Hilfe des Lotfusspunktes die Länge der Vektoren die senkrecht von der Geraden zu Punkt q1 und q2 gehen bestimmt.

Bei beiden erhalte ich das gleiche Ergebnis. Kann dass sein oder habe ich dort einen Fehler?

Rechneweg für q1:

$$\left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right] *\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\quad =\quad 0\quad \Rightarrow \quad \lambda =\quad \frac { 1 }{ 4 } \\ \\ \Rightarrow \quad in\quad u\quad eingesetzt\quad erhält\quad man\quad Lotpunkt\\ \Rightarrow \quad { l }_{ 1 }=\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 2 }  \\ 1 \\ -\frac { 1 }{ 2 }  \end{pmatrix}\\ \Rightarrow \quad \vec { { l }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } =\begin{pmatrix} 3/2 \\ -1 \\ -1/2 \end{pmatrix}\Rightarrow \left\| \quad \vec { { l }_{ 1 }{ q }_{ 1 } }  \right\| =\frac { \sqrt { 14 }  }{ 2 } $$

Answer 1

Die Gerade U ist die x-Achse. Beide Punkte haben den Abstand 1 von der x.Achse.

Rechnerisch sieht das so aus:

d1 = ABS([-2, 0, 0] ⨯ ([1, 1, 0] - [2, 0, 0])) / ABS([-2, 0, 0]) = 1

d2 = ABS([-2, 0, 0] ⨯ ([1, -1, 0] - [2, 0, 0])) / ABS([-2, 0, 0]) = 1

Comments

Danke.

Bei der Gerade u ist mir ein Fehler unterlaufen. Diese ist wie in der Rechnung zu sehen:

u = (2,0,0) + lamda(-2,0,2).

Okay, dass ändert auch nicht all zuviel. Beide Punkte haben dann immernoch gleich Abstand von der Geraden.

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Ja. Der Abstand bleibt gleich. Verändert sich nur etwas.

d1 = ABS([-2, 0, 2] ⨯ ([1, 1, 0] - [2, 0, 0])) / ABS([-2, 0, 2]) = √6/2

d2 = ABS([-2, 0, 2] ⨯ ([1, -1, 0] - [2, 0, 0])) / ABS([-2, 0, 2]) = √6/2