Dimmension einer linearen Abbildung

Question

Ist \(V\) endlichdimensional und \(F: V \rightarrow W\) linear, so für alle nichtleeren Fasern \(dim F^{-1} (w) = dim V - dim Im F\).

Ich weiß, dass \( dim V = dim Im F + dim Ker F\). Ich muss also irgendwie zeigen, dass dim Ker = dim F^-1 (w), aber das ist für mich gar nicht offensichtlich.

Comments

Jetzt habe ich nochmal überlegt und habe folgende Vermutung.

Ich weiß, dass für \( u \in F^{-1}(w) \) gilt, \(F^{-1}(w) = u + Ker F\). Ker ist ein Untervektorraum von V also ist \(F^{-1}(w)\) ein affiner Unterraum und für einen affinen Unterraum X gilt, dim X := dim W (in unsem Fall Ker), somit ist \(dim F^{-1}(w) =dim  Ker F \).

Answer 1

Ja, ist doch alles klar. Damit hast du es.