Das erste zeigst du am besten durch vollst. Induktion über n:
für n=1 wäre das 1/ 1! ≤ 2 - 1/1 also 1 ≤1 stimmt.
falls es für n gilt, dann Summe bis n+1 =
Summe bis n + 1 / (n+1)! Jetzt die Ind. vor
≤ 2 - 1/n + 1 / (n+1)!
und jetzt muss man zeigen, dass dieses ≤ 2 - 1/(n+1) ist.
also: 2 - 1/n + 1 / (n+1)! ≤ 2 - 1/(n+1)
1 / (n+1)! ≤ 1/n - 1/(n+1)
1 / (n+1)! ≤ ( (n+1) - n )/ (n *(n+1) )
1 / (n+1)! ≤ 1 / (n *(n+1) )
und das ist ja sicherlich wahr für alle n.
wenn nun also an ≤ 2 - 1/n ist an also eine monoton wachsende Folge (kommt ja
immer ein positiver Summand dazu) , die beschränkt ist (alle kleiner gleich 2).
Also konvergent.
