Parametergleichung aufstellen bei Ebenen?

Question

Ich bin im Moment ziemlich ratlos, verstehe meine Aufgabe nicht und würde mich über eine gut erklärte Antwort riesig freuen! für eure Mühe!

1. Stellen Sie jeweils eine Parametergleichung der x1x2-Ebene, der x1x3-Ebene und der x2x3-Ebene auf (siehe Anhang).

2. Geben Sie zu der x1x2-Ebene, der x1x3-Ebene und der x2x3-Ebene jeweils eine weitere Parametergleichung an.

3. Beschreiben Sie, wie man an einer Parametergleichung erkennen kann, ob sie zu der x1x2-Ebene, der x1x3-Ebene bzw. der x2x3-Ebene gehört.

Answer 1

1. Stellen Sie jeweils eine Parametergleichung der x1x2-Ebene, der x1x3-Ebene und der x2x3-Ebene auf (siehe Anhang).

x1-x2-Ebene: x = [0, 0, 0] + r * [1, 0, 0] + s * [0, 1, 0]

x1-x3-Ebene: x = [0, 0, 0] + r * [1, 0, 0] + s * [0, 0, 1]

x2-x3-Ebene: x = [0, 0, 0] + r * [0, 1, 0] + s * [0, 0, 1]

2. Geben Sie zu der x1x2-Ebene, der x1x3-Ebene und der x2x3-Ebene jeweils eine weitere Parametergleichung an.

Probier das mal selber.

3. Beschreiben Sie, wie man an einer Parametergleichung erkennen kann, ob sie zu der x1x2-Ebene, der x1x3-Ebene bzw. der x2x3-Ebene gehört.

Alle Punkte der x1-x2-Ebene haben die x3-Koordinate 0. Daher darf weder der Ortsvektor noch die Richtungsvektoren hier etwas ungleich 0 stehen haben. Die restlichen werte sind egal.

x1-x2-Ebene: x = [a, b, 0] + r * [c, d, 0] + s * [e, f, 0]

Wobei die Richtungsvektoren nicht linear abhängig sein dürfen.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! 2. werde ich jetzt mal selber probieren, eine Frage hätte ich abe noch, wie genau kommt man denn auf die Zahlen bei 1.?

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Darf man bspw bei der x1x2 - Ebene einfach beliebige Werte für x1 und x2 einsetzen? Du hast das hier jetzt gemacht: x1-x2-Ebene: x = [0, 0, 0] + r * [1, 0, 0] + s * [0, 1, 0]

Aber wäre x = [1, 3, 0] + r * [2, 4, 0] + s * [6, 7, 0] nicht genauso richtig?

Außerdem: muss man bei den Werten irgendwas beachten oder sind sie wie gesagt beliebig? Also r und s dürfen keine Vielfache voneinander sein, oder? und was ist mit dem Stützvektor? Normalerweise ist 0,0,0 immer am einfachsten oder?

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Die Darstellung der Ebene ist natürlich nicht eindeutig, weshalb es hier unendlich viele Möglichkeiten nimmt. Muss man mit solchen Ebenengleichungen weiterrechnen, ist es aber sinnvoll, eine möglichst einfache Darstellung zu wählen.

Achte auf die Ausdrucksweise: Nicht r und s dürfen keine Vielfache sein, sondern die Richtungs- bzw. Spannvektoren.

Der Stützvektor kann in der Art beliebig sein, dass es sich hier nur um einen Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene handeln muss. In deinem Beispiel muss also nur \(x_3=0\) erfüllt sein. Für die Spannvektoren gilt, dass sie in der Ebene liegen müssen und keine Vielfache voneinander sind. Das erfüllen deine Vektoren auch, da auch hier jeweils \(x3=0\) gilt.

Zum Weiterrechnen ist deine Darstellung aber vergleichsweise "kompliziert". Falsch ist sie aber nicht.

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Der Punkt (0,0,0) kann natürlich nur verwandt werden, wenn er auch auf der Ebene liegt.

Die Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen sind beliebig, solange sie a) in der Ebene liegen und b) linear unabhängig sind (also z.B. dürfen sie kein Vielfaches voneinander sein!)

r und s sind Parameter. Durch eine konkrete Wahl (z.B. r= 0und s= 0 in deiner Gleichungerreicht man gerade den Punkt (1,3,0). Die Frage ‚dürfen sie Vielfache sein‘ stellt sich nicht wirklich.