Konvergenz prüfen und Grenzwert berechnen: a_(n+1)= (a_(n) +2)^{1/2} und a_(0) = 1

Question

bei folgender Folge soll überprüft werden, ob sie konvergiert und wenn ja, soll der Grenzwert berechnet werden... vorher habe ich schon bewiesen, dass die Folge durch 2 beschränkt ist.... ich bekomme beim Grenzwert Unsinn heraus.

Folge: a_n+1= (a_n +2)^{^1/2}     a₀ = 1

Comments

Was bekommst du denn für einen Unsinn raus? Vielleicht finden wir deinen Denkfehler?

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lim n-->∞  a_n  = a   =  lim n--> ∞  a_n+1

lim  a_n+1  = (an +2)^{1/2}

        a =   ( a + 2)^{1/2}

a^2 -a -2 =0

a1= 2,1583

a2= -1,1583

Answer 1

a_n+1= (a_n +2)^1/2

Wenn die Folge konvergiert, dann gegen einen Fixpunkt. Also Ansatz:
a= (a +2)^1/2  heisst schon mal a≥0.

a^2 = a+ 2

a^2 - a - 2 = 0

(a-2)(a+1) = 0

a1 = 2.

a2 = -1 kommt nicht in Frage, da kleiner als 0.

Der Grenzwert muss daher 2 sein, falls die Folge konvergiert.

Anmerkung: Sorgfältig nachrechnen umd diese Zeit!