Ein Zylinder soll einer Kugel eingeschrieben werden. Wie ist er zu dimensionieren, damit seine Oberfläche maximal wird?

Question

Aufgabe:

Ein Zylinder soll einer Kugel eingeschrieben werden. Wie ist er zu dimensionieren, damit seine Oberfläche maximal wird?

Inhalt: Aus einer Kugel mit dem Radius R ( R = die Konstante ) soll ein Zylinder ausgeschnitten werden. Wie sind Radius und Höhe des Zylinders zu wählen, damit der Oberflächeninhalt des Zylinders maximal ist?

Answer 1

Hier mein Ansatz
Ich benenne das Dreieck wie im Pythagoras
R^2 = x^2 + y^2
y = √ ( R^2 - x^2 )

Bodenfläche des Zylinders
y^2 * π
Boden- und Deckelfläche
2 * y^2 * π

Umfang Mantelfläche : 2 * y * π
Mantelfläche : Umfang * 2 * x
2 * y * π * 2 * x

Oberfläche
2 * y^2 * π  +  2 * y * π * 2 * x
y ersetzen
2 * (√ ( R^2 - x^2 ))^2 * π  +  2 * √ ( R^2 - x^2 ) * π * 2 * x
2 *( R^2 - x^2 ) * π  +  2 * √ ( R^2 - x^2 ) * π * 2 * x

Sollte der Ansatz deine Zustimmung finden dann
1.Ableitung nach x bilden, zu 0 setzen und x berechnen.

Comments

x ist waagerecht
y ist senkrecht

Ich verheddere mich bei den Berechnungen deshalb die
Lösung durch mein Matheprogramm

Die erste Zeile ist y =
Die 2.Zeile ist die Formel für die Oberfläche
Die 3.Zeile ist die 1.Ableitung
Die 4.Zeile ist die Lösung
x = R * 0.85

mfg Georg

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Ok, jetzt ist mir fast alles klar. Danke nochmals. Aber sollte laut der Produktregel nicht das 2. Vorzeichen in der Ableitungsfunktion positiv sein?

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Aus dem ersten Summand der Funktion

2 * π *( R^2 - x^2 )

hat das Matheprogramm den 2.Summanden der Ableitung gemacht

- 2 * x * 2 * π
- π * x * 4

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Okay, jetzt habe ich die Aufgabe begriffen. Aber wie komme ich bei einer Polynomfunktion 4. Grades auf die Nullstellen, wenn eine Division recht sinnlos erscheint?

(Laut Lösungen gäbe es eine einfachere Möglichkeit, wenn man mit dem Winkel, den R und x einschließen,  rechnet.)

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Ist dies überhaupt eine offizielle Aufgabe gewesen ?

In dem Link den du angeführt hast wird nach max V gefragt.

Stammt max O von dir ?

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Ja, das stimmt. Sie kommt aus meinem Schulbuch. Nur will ich keine Klage am Hals, weil ich geschütztes Material veröffentliche. Als Tipp ist aber angeführt, dass man die Variablen durch den Winkel zwischen dem Radius der Kugel und dem Radius des Zylinders ausdrücken soll.

Also die Skizze von Oben stimmt. Die Aufgabenstellung stimmt. Die Hauptbedingung stimmt. Nur komme ich auf keine Nebenbedingung, mit der sich die Aufgabe lösen lässt. (Das Ergebnis des Matheprogramms wäre richtig)

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Wir sind aber eigentlich schon bei :

Die 2.Zeile ist die Formel für die Oberfläche
Die 3.Zeile ist die 1.Ableitung 

Ableitung zu 0 setzen und x ausrechnen.
x = 0.85 * R

Damit möchte ich den Diskussionsstrang beenden.
Wir drehen uns nämlich im Kreis.