Question

Gegeben ist die Funktionenschar f_k(x) = - x³ + (k - 5) x mit xER und kER.

Ermitteln Sie Anzahl und Art der Nullstellen von fk in Abhängigkeit von k.

Answer 1

f_k(x) = - x³ + (k - 5) x =0

x(-x²+(k-5))

x=0

-x²+(k-5)=0

x²=k-5

x=±√(k-5)

1. Fall: k=5      x=0   Dreifache Nullstelle

2. Fall. k<5     x=0 Einfache Nst.

3. Fall: k>5     x=0   ∨ x=√(k-5)   ∨   x=-√(k-5)

LG

Comments

Super danke!

Könntest du mir eventuell auch den Lösungsweg beschreiben? Bzw. wie du auf die einzelnen Schritte gekommen bist.

Answer 2

fk(x) = - x^3 + (k - 5)·x = - x·(x^2 - k + 5) = 0

Eine Lösung bei x1 = 0

Anderen Lösungen über das Nullprodukt

x^2 - k + 5 = 0

x = ± √(k - 5)

Eine Lösung also für k <= 5.

Drei Lösungen für k > 5.

Schreib dann noch die Art der Nullstellen dazu.

Comments

Was wären die Lösungen bei den Fällen k<= 5 und k>5?

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x = 0 gilt für alle Fälle

Was wären die Lösungen bei den Fällen k<= 5
Beispiel k = 3
x = ± √(k - 5)
x = ± √(3 - 5)
x = ± √(- 2)  ( keine weitere Lösung )

und k>5?
Beispiel k = 6
x = ± √(k - 5)
x = ± √(6 - 5)
x = ± √(1) 
x = 1
und
x =-1
Insgesamt 3 Nullstellen
x = 0, x = 1 und x =-1