Untervektorraum bestimmen mit Mengen R^2, R^3

Question

Die Mengen R2, R3 und Abb(R,R) sind in dieser Aufgabe als R-Vektorräume aufzufassen. Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume, welche nicht?

a) U = {(x, y) ∈ R2; (x − 1)2 + y2 = 1} ⊂ R2. 

b) V ={(x1,x2,x3)∈R3;x3 =0}⊂R3

 c) W ={(x1,x2x3) ∈ R3 ; x3  = x2 } ⊂ R3.

d) X={f:R→R;f(0)≥0}⊂Abb(R,R). 

e) Y ={(x,y)∈R2;x+2y=1}⊂R2. 

Answer 1

a) nein

b) ja

c) ja

d) nein

e) nein

Die Anzahl an Eigenschaften die ein UVR erfüllen muss ist sehr überschaubar. Schon versucht diese zu überprüfen?

Gruß

Comments

Danke erstmal.

Habe zwar schon versucht die Eigenschaften zu überprüfen, bin aber noch zu keinem Ergebnis gekommen. Kannst du mir das an einer Aufgabe vielleicht vorrechnen, so dass ich die anderen dann alleine schaffe?

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Also a) ist ja relativ simpel da man sofort sieht, das \( (0,0) \notin U \).

bei b) kannst du mir ja mal zeigen wie du vorgegangen bist, aufbauend auf dem was du schon kannst reichen vielleicht noch paar kleine Schubser in die richtige Richtung. UVR nachweisen ist eigentlich immer ziemlich straight-forward aber meist nicht ganz nach Schema F, wie man es gern hätte ;)

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Bei b) würde ich mit dem Nullvektor argumentieren. Bin mir nur unsicher, wie ich das formal richtig aufschreibe.

Bei c) würde ich sagen, dass auch das Gleichungssystem erfüllt ist und somit ein Untervektorraum vorliegt.

Genauso würde ich bei e) argumentieren, aber mit dem Schluss, dass es halt kein Untervektorraum ist.

Zu d) habe ich noch keine Idee.

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Bei b) würde ich mit dem Nullvektor argumentieren. Bin mir nur unsicher, wie ich das formal richtig aufschreibe.

-> Zum Beispiel so: \(0 \in V\) aber das reicht ja noch lange nicht. Du musst alle Eigenschaften überprüfen, wenn es kein UVR ist dann reicht es nur die Eigenschaft anzugeben die verletzt wird.

Bei c) würde ich sagen, dass auch das Gleichungssystem erfüllt ist und somit ein Untervektorraum vorliegt.

-> Was für ein Gleichungssystem?

Kennst du die Eigenschaften eines UVR?

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Ich habe mich an folgendem orientiert:

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!334:Untervektorraum

Kann man das als Orientierung nehmen?

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Ja schon, wobei ich mich jetzt auf die allgemeinen Eigenschaften (nämlich die aus der Definition, die ihr wahrscheinlich auch in euren Unterlagen haben müsstet) bezogen hab. Diese findest du auf der Seite ab "Das Untervektorraumkritierum".

Darüber zu argumentieren, dass die Lösungsmenge einer homogenen LGS ein UVR ist, ist an sich natürlich vollkommen in Ordnung, allerdings wenn ihr das in der Vorlesung noch nicht allgemein gezeigt habt, wirst du dafür keine Punkte bekommen, wenn du nicht selber vorher zeigst das dies stimmt. Habt ihr das allerdings schon gemacht so sind b) und c) ja mit nem kurzen Satz beantwortet :).

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Okay, danke! Damit schaffe ich das.

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Kein Ding :). Wenn noch Fragen sind gerne hier reinstellen.