Untervektorräume überprüfen

Question

benötige Hilfe bei einer Aufgabe.

Sei f die Abbildung

f: R^3 --> R

(u,v,w)^T --> 2u-3v+7w

Nun muss man überprüfen ob sich folgende Teilmengen um reelle Untervektorräume von R^3 handelt:

a) {(x,y,z)^T e R^3| f(x,y,z)=-1}

Hier hätte ich jetzt gesagt es handelt sich nicht um einen Untervektorraum, da

Nullvektor: 2x-3y+7z+1=0

So jetzt werde ich schon unsicher, weiß nicht genau was ich da mit der -1 anfangen soll und wie ich da bei der Addition vorgehen soll

Addition: ?

b) {x,y,z) e R^3|f(3x-y, 2z,y)=0}

Nullvektor: 6x-6z+5y=0

Addition: ?

c) {x,y,z) e R^3|f(3x^2,2x^2,y)=0)

Danke

Comments

Die Idee bei a) ist komplett richtig:
\((0,0,0)\) ist nicht in der beschriebenen Menge, denn \(f((0,0,0)) = 2\cdot 0 - 3\cdot 0 + 7\cdot 0 \neq -1\).
Damit kann die Menge schon kein Untervektorraum mehr sein, weil sie die Null nicht enthält. (Für die Aufgabe wäre es also nicht nötig, noch die Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation zu prüfen...)

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ok super, dann hätte ich schonmal die a:)

so bei der b) habe ich mal weitergemacht

und habe dann bei der Addition   (6x-2y)  + (6x-2y)     = (12x-4y)

(-6z)    +   (-6z)       =   (-12z)

(7y)     +   (7y)        =  (14y)

Multiplikation:                    m (6x-2y)

m (-6z)

m(7y)

Hätte jetzt behauptet es handelt sich auch nicht um einen uvr, da man zb bei der Addition an y erkennt, dass aus y = 2y werden, somit wurde die Voraussetzung verändert und es handelt sich nicht um ein uvr, stimmt das?

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Ich glaube nicht, dass das richtig ist ;) ...
Dein Problem könnte sein, dass du (als Anfänger? - man bleibt sowieso immer Anfänger...) noch nicht so recht weißt, wie die meisten Beweise im Grunde immer ablaufen... Ich werde versuchen, es halbwegs klar zu machen:

Bei b) stimmt das mit dem Nullvektor auch; da hier der Nullvektor vorhanden ist, ist hier jetzt wirklich noch die Prüfung der Abgeschlossenheit (Addition, Skalarmultiplikation) nötig, man muss also sehen, ob das Ergebnis der Addition wieder in der Menge ist, wenn man zwei beliebige Vektoren aus ebendieser bezeichneten Menge für die Addition nimmt...

Wie du dir wahrscheinlich schon gedacht hast, muss für jeden Vektor \((x,y,z)\) in der Menge gelten, dass \(6x-6z+5y=0\); man kann im Grunde, damit es leichter wird, die Definition der Menge bei b) Umschreiben, da \(f((3x-y,2z,y)) = 6(x-z)+5y\) nach Definition ist:
\(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|f((3x-y,2z,y)) = 0\} ~~~=~~~ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|6(x-z)+5y = 0\}\)

Im nächsten Kommentar von mir kommt ein entscheidender Teil vieler Beweise: Das Wort "Sei" oder "Seien".
Man vergibt jetzt nämlich Symbole für Vektoren, die einem helfen sollen, den Beweis zu erbringen... - Wie genau diese gewählt werden sollten usw. lernt man durch Übung; es gibt eben bestimmte Hinweise in Problemen, die man mit der Zeit (er-)kennenlernt und man entwickelt ein Gefühl, solche Dinge intuitiv zu lösen.

Bis gleich...

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Schon wieder da zum zweiten Teil :)

Seien jetzt also \((a_1,a_2,a_3)\) und \((b_1,b_2,b_3)\) beliebige Vektoren aus der Menge, sodass (zur Erinnerung) für sie gilt: \(6(a_1-a_3)+5a_2 = 0\) und dasselbe analog für \((b_1,b_2,b_3)\). Das war wichtig!

Dann ist außerdem (üblicher Weise)
\((a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) := (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)\)
ihre Summe.

Zur Erinnerung: Die Menge ist bzgl. der Addition abgeschlossen, wenn gilt, dass die Summe wieder in der Menge ist, dass also für diese Summe gilt:
\(6\big((a_1+b_1)-(a_3+b_3)\big) ~+~ 5(a_2+b_2) ~~=~~ 0 \) , also umgestellt
\(6a_1+6b_1-6a_3-6b_3+5a_2+5b_2 ~~=~~ 0\) , also wieder umgestellt...

[...]

Na, irgendeine Idee?

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Verraten sei noch, dass zumindest bei der Addition alles stimmt... (Menge bzgl. Addition abgeschlossen!) :)

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okay, also erst mal vielen vielen Dank:),

so habe mir das jetzt alles nochmal angeschaut. Habe das soweit denke ich nun verstanden. Man kann also jede beliebige reelle Zahl für a1 und b1 einsetzten und jenes multipliziert mit den Zahlen 6, -6 und 5 ergibt eine reelle Zahl die in dem R^3 raum liegt somit hat man hinsichtlich der Addition ein uvr

Bei der Skalarmultiplikation wäre es dann

Sei m e R und

m (6x) --> (m 6x)

m (5y) --> (m 5y)

m (-6z) --> (m -6z)

Hier kann man für m auch jede Beliebige reelle Zahl einsetzten und man erhält ebenfalls eine reelle Zahl die im R^3 liegt somit diese Bedingung für ein UVR auch erfüllt

Alle 3 Bedingungen sind somit zutreffend und es handelt sich um ein UVR, stimmt dies jetzt?

Aufgabe C wäre auch ein UVR

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Ich helfe gern... :)
...bin mir aber nicht ganz 100% sicher, dass Du es tatsächlich ganz verstanden hast.

Du schriebst:
"Man kann also jede beliebige reelle Zahl für a1 und b1 einsetzten und jenes multipliziert mit den Zahlen 6, -6 und 5 ergibt eine reelle Zahl die in dem R³ raum liegt somit hat man hinsichtlich der Addition ein uvr "

Dazu ein paar Dinge:

"Man kann also jede beliebige reelle Zahl für \(a_1\) und \(b_1\) einsetzen" ist richtig aber man kann auch jede beliebige reelle Zahl für \(~a_2,a_3,b_2\) und \(b_3\) einsetzen... - zusammenfassend würde es mehr Sinn machen, zu sagen, dass \((a_1,a_2,a_3)\) und \((b_1,b_2,b_3)\) jeweils alle Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) sein können, für die gilt, dass ihre Komponenten (das sind \(a_1,a_2,\cdots \)) die Gleichungen \(6(a_1-a_3)+5a_2 ~=~ 0\) und \(6(b_1-b_3)+5b_2\ ~=~ 0\) erfüllen.


"und jenes (die beliebige reelle Zahl) multipliziert mit den Zahlen 6, -6 und 5 ergibt eine reelle Zahl, die in dem \(\mathbb{R}^3\)-Raum liegt" ist falsch formuliert:
(I) Reelle Zahlen liegen niemals im \(\mathbb{R}^3\) - darin liegen ausschließlich reelle 3-Tupel, also geordnete Listen reeller Zahlen mit drei Einträgen, also "Vektoren", z.B. liegen die Tupel \((a_1,a_2,a_3),~(b_1,b_2,b_3)\) im \(\mathbb{R}^3\), z.B. aber \(a_1\) oder \(b_2\) als reelle Komponenten hingegen nicht...
(II) Und nein - nicht deshalb hat man eine Abgeschlossenheit bei der Addition, nicht weil das entsprechende Ergebnis im \(\mathbb{R}^3\) liegt, sondern weil es wieder in der Menge vom Anfang \(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|f((\cdots))\} ~~=~~\{\cdots|6(x-z)+5y ~=~ 0\}\) liegt - in der Teilmenge vom \(\mathbb{R}^3\), die sich als Untervektorraum erst noch herausstellen soll...

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Ich führe mal den Beweis fertig:

Siehe oben! ;)

[...]

Zur Erinnerung: Die Menge ist bzgl. der Addition abgeschlossen, wenn gilt, dass die Summe wieder in der Menge ist, dass also für diese Summe gilt:
\(6\big((a_1+b_1)-(a_3+b_3)\big) ~+~ 5(a_2+b_2) ~~=~~ 0\) , also umgestellt
\(6a_1+6b_1-6a_3-6b_3+5a_2+5b_2 ~~=~~ 0\) , also nochmal umgestellt:

\(\underbrace{6(a_1-a_3)+5a_2}_{=0 \text{ per Voraussetzung, da } (a_1,a_2,a_3) \text{ in der Menge sein sollte}} +~~~~~ \underbrace{6(b_1-b_3)+5b_2}_{=0, \text{ aus analogem Grund}} ~~~~=~~~~ 0\)

"\(0=0\)" - Damit steht fest, dass (zur Erinnerung) die Menge (vom Anfang), von der wir die ganze Zeit reden, bzgl. der Addition abgeschlossen ist.

Ich hoffe das hilft! :D

Ähm... - Bei der Multiplikation machst du es genau so, wie ich es gerade bei der Addition getan habe, bloß, dass du dir diesmal nur einen, nicht zwei Vektoren, nimmst und ihn mit einer reellen Zahl (nimm "m", wenn du möchtest, üblicher wäre \(\lambda\)) multiplizierst.

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Übrigens handelt es sich tatsächlich um einen Untervektorraum, weil auch die Multiplikation abgeschlossen ist! :)

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Aber was ich noch nicht so ganz verstehe ist, man könnte dies ja durch einsetzten von beliebigen reellen Zahlen überprüfen

z.B. a1 = 1   ,    b1= 4

a2=2     ,    b2=5

a3=3     ,    b3=6

Wenn ich dies dann einsetze in 6(a1-a3)+5a2 +  6(b1-b3)+5b2=0

erhalte ich ungleich 0 = 0

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Was du darüber sagst, beliebige Zahlen einzusetzen, stimmt so nicht...

Tatsächlich muss das auch so sein, dass es eben nicht mit allem funktioniert, was man einsetzt... :)
Das ist auch gut so, denn sonst wäre der "Unterraum" auch der ganze \(\mathbb{R}^3\) (beide Mengen gleich) und dann wäre der ganze Wirbel um Untervektorräume total umsonst.

Bei deinem Beispiel funktioniert das nicht, weil deine Vektoren \((1,2,3)\) und \((4,5,6)\) zwar offensichtlich aus dem \(\mathbb{R}^3\), nicht aber aus der Menge kommen, die wir als Untervektorraum nachweisen wollen und beim Unterraum geht es nur darum, ob zwei Vektoren aus dem Unterraum wieder im Unterraum sind, nicht ob beliebige das sind...

Zum Beispiel müsste eben, wenn \((1,2,3)\) im Untervektorraum wäre, gelten, dass:
\(6\cdot (1-3)+5\cdot 2 ~=~ 0\)
- Und zwar per Voraussetzung von ganz am Anfang... (Sieh mal in deine Aufgabenstellung! - Die sagt übersetzt nämlich, dass alle die Vektoren \((x,y,z)\) aus dem \(\mathbb{R}^3\) im UVR sein sollen, für die gilt, dass \(f(3x-y, 2z,y)=6(x-z)+5y=0\), keine mehr, keine weniger.)