Globale Extrema bestimmen (falls existent). Funktion mit drei Abschnitten.

Question

Aufgabe:

Globale Extrema bestimmen (falls existent):

\( f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}f_{1}(x)=\frac{2-x}{1-x} & x \leq 0 \\ f_{2}(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+4 x+2 & \text { für } & 0<x<3 \\ f_{3}(x)=6-e^{3-x} & & x \geq 3\end{array}\right. \)

Ansatz/Problem:

Ich hab noch nie globale Extrema bestimmt. Ich glaube ich muss die erste Ableitung = 0 setzen, aber ich versteh die ganze Darstellung der Funktion nicht. Was ist das da rechts und wieso sind es drei (Unter?)Funktionen?

Answer 1

Die Funktion ist in drei Abschnitten bestimmt. Jede Teilfunktion ist nur für den ihr zugeordneten Abschnitt definiert.

Answer 2

Hi,

du musst den größten y-Wert auf dem Gesamten Definitionsbereich finden. Der Definitionsbereich ist bei solchen Aufgaben eigentlich immer angegeben. Wenn nichts weiter dran steht, wie bei deiner Aufgabe, dann ist x=ℝ, also jeder Wert für x möglich.

Wie du siehst, hast du für unterschiedliche Werte von x unterschiedliche Funktionen. Diese musst du separat untersuchen. Ich kann ja mal "wörtlich" beschreiben, was du tun musst bzw. was ich tun würde:

1. Wir gucken, ob die Funktion f₁ im Bereich x≤0 *lokale* Maxima hat und finden heraus, dass keine vorhanden sind. Da f₁ zudem monoton steigend ist (kannst du leicht überprüfen, indem du einfach zwei Werte für x einsetzt: f₁(-2)=4/3 < f₁(-1)=3/2 und damit argumentierst, dass du ja kein Maximum hast, was für ein Monotoniewechsel notwendig wäre), ist dein größter y-Wert bis hier hin f₁(0)=2.

2. Jetzt schauen wir uns f₂ an und finden auch dort keine Maxima, also führen wir dieselbe Prozedur wie eben durch. Wir finden heraus, dass f₂ ebenfalls monoton steigend ist und damit der größte y-Wert der ist, an dem wir für x den größtmöglichen Wert einsetzen. Da x im Bereich 0<x<3 liegt, haben wir ein Problem, denn der höchstmögliche Wert für x ist dann ja 2,999..., also 2 Komma Periode 9, doch das können wir nicht einsetzen. Also müssen wir den Wert f₂(x₀) eingrenzen. Dieser liegt zwischen x=2,9 und x=3. Aufgrund der Monotonie gilt somit f₂(2,9)=4,91 ≤ f₂(x₀) ≤ f₂(3)=5, also wäre der y-Wert über dem, den wir bei der ersten Funktion gefunden haben. Wenn die Aufgabe hier zuende wäre, hätten wir ein Problem. Da das nicht der Fall ist, schauen wir erstmal weiter.

3. Für die dritte Funktion wieder nach Maxima schauen, wir finden keine und die Funktion ist wieder monoton steigend. Also den größten x-Wert einsetzen, doch dieser ist ja jetzt x=∞. Also bestimmen wir den Grenzwert$$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f_3(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\left( 6-e^{3-x} \right)}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\left( 6-\frac{1}{e^{-3+x}} \right) }=6-0 = 6 \ .$$ Der größte y-Wert für f₃ ist also 6. Da dieser größer als die maximalen y-Werte in unseren beiden ersten Bereichen ist, liegt das globale Maximum im Unendlichen. Ob man den Fall "Unendlich" zulässt weiß ich jetzt leider nicht.

Comments

Wie würde denn ein Maxima aussehen, damit ich es erkenne ?

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Stell dir einfach vor die erste und dritte Funktion bleiben gleich, höchster y-Wert also 6. Die zweite Funktion wäre jetzt irgendein anderes Polynom, die in ihrem Intervall auch ein lokales Maximum hat. Der y-Wert des lokalen Maximums ist z.B. 9, dann wäre an dieser Stelle x das globale Maximum. Ist jetzt nur ein Beispiel.