Integral von x*(ln x))^{2} dx

Question

Es geht um folgendes Integral:

Integral von x·(ln x))^{2} dx

Ansatz/Problem:

Ich bin mit partieller Integration und anschließendem Kürzen zu diesem Ergebnis gekommen:

\( \left.\int x \times \ln (x)\right)^{2} d x=\frac{x^{2} \times(\ln (x))^{2}}{2}-\int x \times \ln (x) d x \)

Aber hier komme ich nicht mehr weiter. Ich glaube das jetzt der eigentliche Teil kommt, also das auflösen des Integrals, aber ich weiß nicht wirklich wie das geht.

Answer 1

Kleiner Tipp: Wolframalpha fürs Smartphone hilft dir bei der Berechnung

Comments

Beim 4ten Schritt komm ich nicht mehr mit, bis dahin klapps eigentlich prima mit dem Woflram alpha.

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Bei welchem Schritt genau. Schreib mal genau die Zeile davor auf bis wohin du es verstehst.

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Die Zeile bekomm ich noch problemlos hin, aber die danach, bei der sich der hintere Teil fast komplett auflöst und sich vorne einiges ändert, bei dem kapier ich nicht was da passiert.

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Bilde jetzt mal unabhängig von der Aufgabe die Stammfunktion von

∫ x * LN(x) dx

= 1/2·x^2 · LN(x) - ∫ 1/2·x^2 · 1/x dx

Das ist es ja was in der Zeile gemacht wird.

Und dann schau dir mal die nächste Zeile an. Achte dann darauf das die gebildete Stammfunktion ja abgezogen werden muss. Daher stehst dann dort

- 1/2·x^2 · LN(x) + ∫ 1/2·x^2 · 1/x dx

So klar ?

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Also der Teil hinter dem Integral wird nochmal mit partieller Integration integriert. Daher kommt der Ausdruck

= 1/2·x² · LN(x) - ∫ 1/2·x² · 1/x dx

Aber was dann genau mit dem passiert versteh ich noch immer nicht.

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1/2·x^2·LN(x)^2 - ∫(x·LN(x)) dx

Wir wissen jetzt ∫(x·LN(x)) dx = 1/2·x² · LN(x) - ∫ 1/2·x² · 1/x dx = 1/2·x² · LN(x) - 1/2·∫ x dx 

1/2·x^2·LN(x)^2 - (1/2·x² · LN(x) - 1/2·∫ x dx)

1/2·x^2·LN(x)^2 - 1/2·x² · LN(x) + 1/2·∫ x dx

Nun schau mal bei Wolframalpha nach. Ok die haben das in anderer Reihenfolge da stehen das sollte dich aber nicht stören.

Answer 2

Ohne Wolfi  und alles schön zu Fuss:

$$ \int x \cdot (\ln (x))^2 \, dx $$
$$ \frac{ d\, \ln(x)^2}{dx}=\frac 1x  \,\cdot \, 2 \ln (x) $$
$$ \int x \cdot (\ln (x))^2 \, dx = \frac12 x^2 \cdot \, (\ln (x))^2 - \int \, \frac12 x^2 \cdot \,\frac 1x  \,\cdot \, 2 \ln (x) dx$$
$$ \int x \cdot (\ln (x))^2 \, dx = \frac12 x^2 \cdot \, (\ln (x))^2 - \int \, x  \,\cdot \,  \ln (x) dx$$
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$$ \int \, x  \,\cdot \,  \ln (x) dx =  \frac12 x^2 \cdot \, \ln (x) - \int \, \frac12 x^2 \cdot \,\frac 1x dx$$
$$ \int \, x  \,\cdot \,  \ln (x) dx =  \frac12 x^2 \cdot \, \ln (x) - \int \, \frac12 x \,\, dx$$
$$ \int \, x  \,\cdot \,  \ln (x) dx =  \frac12 x^2 \cdot \, \ln (x) -  \frac12 \cdot \frac12 x^2 \,\, $$
$$ \int \, x  \,\cdot \,  \ln (x) dx =  \frac12 x^2 \cdot \,\left( \ln (x) -  \frac12 \right) \,\, $$
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$$ \int x \cdot (\ln (x))^2 \, dx = \frac12 x^2 \cdot \, (\ln (x))^2 - \frac12 x^2 \cdot \,\left( \ln (x) -  \frac12 \right)$$
$$ \int x \cdot (\ln (x))^2 \, dx = \frac12 x^2 \cdot \,\left( (\ln (x))^2 -  \ln (x) -  \frac12 \right)$$
$$ \int x \cdot (\ln (x))^2 \, dx = \frac{x^2}4 \cdot \,\left( 2\,(\ln (x))^2 - 2 \, \ln (x) -1 \right) +C $$