Bestimme die Schnittpunkte der Graphen. (Potenzfunktionen). Was sind a_{3} und a_{4}?

Question

Aufgabe:

Die zu den Graphen gehörigen Funktionen haben Grad 4 bzw. 3. Für f gilt \( a_{4}=1 \), für g gilt \( a_{3}=1 \). Alle Nullstellen sind ganzzahlig.

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Ansatz/Problem:

Ich weiß hier nicht, was ich mit den Koeffizienten a4 und a3 machen soll. Wie gehe ich beim Erstellen der Funktionterme vor?

Comments

Etwa so: \(g(x) = a_3(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)

Bei \(f\) sinngemäß analog, aber aufpassen!

Answer 1

Also zu g(x) kann man wie oben beschrieben ansetzen mit:

a * (x-1) * (x-0) * (x+1), da a=1 ergibt sich recht schnell:

g(x) = x^3-x

Für f(x) kann man folgenden Ansatz machen:

f(x) = x^4 + bx^3 + cx^2+dx, hier kann man die beiden Nullstellen (-1/0) und (2/0) einsetzen

Außerdem braucht man die erste Ableitung:

f'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d, hier setzt man dann den Extremwert (2/0) ein

Es ergeben sich 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, die aufgelöst werden müssen. Man bekommt dann:

f(x) = x^4 - 3x^3 +4x

f und g dann gleichsetzen und die Schnittpunkte ausrechnen!

Comments

Hi, Ableitungen werden nicht benötigt!

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:)

Ist wie Gast jd138 kommentiert hat die Ableitung echt nicht nötig?

Andere frage noch. Geht der wegn mit a*(x-1)... immer? 

wann brauche ich den ax² + bx + c in den meisten fällen? 

Wäre nett wenn du mir dazu noch vielleicht Auskunft geben könntest.

Danke :) Schönen Abend noch

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Tja, vielleicht hat jemand noch eine gute Idee, wie es ohne Ableitung gehen könnte. Ich weiß keine. Den Weg mit den Linearfaktoren kann man immer dann beschreiten, wenn man eine ausrechende Anzahl an Nullstellen hat. In diesem Fall würde man 4 Stück benötigen um eine Fkt 4 Grades zu bestimmen. Aber ist sind nur 3 Stück abzulesen. Deswegen der zusätzliche Ansatz über die Ableitung.

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Hi, es ist \(x=2\) eine "doppelte" Nullstelle, das heißt, der Linearfaktor \((x-2)\) kommt in der Linearfaktorproduktdarstellung zweimal vor und und wir haben somit vier Linearfaktoren.

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In der Tat. Dann geht es auch mit den Linearfaktoren. Die Frage ist für mich, woran erkennt man, dass es eine doppelte Nullstelle ist?

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\(x=2\) ist eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, was dem abgebildeten Graphen entnommen werden kann. Weiterhin sind dem Graphen zwei einfache Nullstellen zu entnehmen, an denen der Graph die \(x\)-Achse (mit Vorzeichenwechsel) schneidet, aber nicht tangiert (gleiche Steigung hat). Somit muss \(x=2\) eine doppelte Nulstelle sein, so dass unter Berücksichtigung ihrer Vielfachheit die maximal möglichen vier Nullstellen dem Graphen entnommen werden können. Die Linearfaktordarstellung steht damit fest.