Ableiten mit Betragsstrichen: f(x) = |x-a| / |x^3-ax^2-bx+ab|

Question

Hallo ich soll folgendes ableiten und wollte mal fragen, ob ich auf was besonderes hier achten muss.
f(x) = |x-a| / |x^3-ax^2-bx+ab| 
kann ich das einfach nach dem quotientenregel ableiten oder geht das nicht.
Mfg

Comments

Vereinfache zuerst: 

f(x) = |x-a| / |x³-ax²-bx+ab|  

= |x-a| / |x^2(x-a) -b(x-a)|  

= |x-a| / |(x^2-b)(x-a)|          . Definitionslücken: x=a und x=±√b

= |x-a| / |(x^2-b)|*|(x-a)|)         | für a≠x.  EDIT(Lu)

= 1 / |(x^2-b)|) 

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Am welcher Stelle genau benutzt du \(a\neq 0\)?

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Was muss ich jetzt genau da ableiten??

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Nick: Hier, wo ich kürze:

= |x-a| / (|x²-b)|*|(x-a)|)         |  für a≠0.

= 1 / |(x²-b)|

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Ich habe einmal den Graph für
a = 3 und
b = 2
gezeichnet

Bei 3 ist eine hebbare Lücke vorhanden
Bei b = ± √ 2 eine Polstelle.

Keine Ableitungung existiert also für die Polstelle.

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Sehr schön!

"Bei 3 ist eine hebbare Lücke vorhanden" stimmt. 

Die Ableitung bei x=a=3 aber nicht definiert. (Denke an die h-Methode. Da muss die Lücke erst stetig gestopft sein. Davon steht noch nichts in der Frage)

"Bei ±√b = ± √ 2 eine Polstelle."

Richtig. 

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Und wieso braucht man beim Kürzen \(a\neq 0\)?
Für \(a=0\) steht da einfach \(\frac{|x|}{|x^2-b|\cdot |x|}\) und auch da kann man \(|x|\) kürzen. Oder meintest du \(x\neq 0\)?

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x≠a natürlich. Danke. Wird korrigiert.

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Sorry, der letzte Satz war Quatsch. Ich wollte schreiben: "Oder meintest du \(x\neq a\)?"

Ah, jetzt hast du es ja selbst korrigiert. ;-)

Answer 1

Es empfiehlt sich die Gleichung erst umzuformen
wie den Kommentaren und auch hier gezeigt.

Es ergeben sich 4 zu untersuchende Fälle von denen 2 einmal aufgezeigt sind

Wie in den Kommentaren aufgezeigt kann die Gleichung reduziert werden auf
1 / | x^2 - b |

Falls x^2 - b > 0 gilt für x^2 > b
[ 1 / ( x^2 - b ) ] ´ = - 2x / ( x^2 - b )^2

Falls x^2 - b < 0 gilt für x^2 < b
[ 1 /  ((-1) * ( x^2 - b )) ] ´ = + 2x / ( x^2 - b )^2

Ich hoffe ich konnte etwas weiterhelfen.