Injektivität beweisen, bitte um Kontrolle

Question

eine Abbildung \( f: M \rightarrow N \) ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung \( g: N \rightarrow M \) mit \( g \circ f = id_M \) gibt.

Ich möchte folgende drei Fälle untersuchen.

1. \(N,M = \emptyset \)

2. \( M= \emptyset, N \not = \emptyset \)

3. \( M \not = \emptyset, N = \emptyset \)

1. Die Aussage ist wahr und es gilt \(f,g = \emptyset\).

2.

\( \Rightarrow\): Es gibt keine solche Abbildung \(g\) also FALSCH.

\( \Leftarrow\): Es gibt keine solche Abbildung \(g\) also ist die Prämisse falsch und somit die Aussage WAHR.

3. Es kann kein \( f \) gebildet werden, die Aussage ist sinnlos für beide Richtungen.

Danke.

Answer 1

Es fehlt der "Hauptfall"  beide Mengen nicht leer.
Dann etwa so:   Seien  M,N beide nicht leer und f injektiv.

Da f injektiv ist,
gibt es zu jedem x aus M genau ein y aus N mit f(x) = y   #

Sei außerdem a aus M (gibt es wegen M nicht leer)
und definiere   für alle y aus Bild(f)
g (y) = x  (aus #)      für alle y aus Bild(f)
 und   g (y) = a       sonst

also werden durch g alle y-Werte auf ihr (einziges) f-Urbild
abgebildet , und alle, die kein f-Urbild haben, werden zusammen
mit f(a) auf a abgebildet.

Dann ist für alle x aus M  g(f(x))  =  x  . also g o f = id _M 

umgekehrt so ähnlich.

 

Comments

Mathef, danke, es ging mir nur um die Fälle mit nichtleeren Mengen, den der Rest ist klar.